Enunciado
Se ha descubierto la siguiente información sobre la economÃa de Lagorlandia:
Capital por hora de trabajo (dólares de 2000) y PIB real por hora de trabajo (dólares de 2000):
- $K/L=10$, $PIB/L=3.8$
- $K/L=20$, $PIB/L=5.7$
- $K/L=30$, $PIB/L=7.13$
- $K/L=40$, $PIB/L=8.31$
- $K/L=50$, $PIB/L=9.35$
- $K/L=60$, $PIB/L=10.29$
- $K/L=70$, $PIB/L=11.14$
- $K/L=80$, $PIB/L=11.94$
- ¿Se ajusta esta economÃa a la regla de un crecimiento? Si es asÃ, explique por qué. Si no, explique por qué no.
- Explique cómo habrÃa usado la contabilidad del crecimiento de este problema.
Solución Paso a Paso
(a) Para ver ‘rendimientos marginales decrecientes del capital’, miramos cuánto sube $PIB/L$ cuando sube $K/L$.
Calculamos incrementos cuando $K/L$ aumenta $10$ unidades:
$$\begin{aligned}&10\to 20:\\ \Delta(PIB/L)=1.90\\ &20\to 30:\\ \Delta(PIB/L)=1.43\\ &30\to 40:\\ \Delta(PIB/L)=1.18\\ &40\to 50:\\ \Delta(PIB/L)=1.04\\ &50\to 60:\\ \Delta(PIB/L)=0.94\\ &60\to 70:\\ \Delta(PIB/L)=0.85\\ &70\to 80:\\ \Delta(PIB/L)=0.80\end{aligned}$$
Como los aumentos van bajando ($1.90,1.43,1.18,1.04,0.94,0.85,0.80$), el capital extra rinde cada vez menos: hay rendimientos marginales decrecientes.
(b) Contabilidad del crecimiento: usamos la idea $$\Delta\ln(PIB/L)=\Delta\ln A + \alpha\,\Delta\ln(K/L)$$
Aquà $\alpha$ es la participación del capital en el ingreso (por ejemplo, $\alpha\approx 0.3$ si no se da).
Con dos años, se calcula el crecimiento de $PIB/L$ y de $K/L$ en logaritmos y luego:
$$\text{Contribución del capital} = \alpha\,\Delta\ln(K/L),\quad \text{cambio tecnológico} = \Delta\ln(PIB/L)-\alpha\,\Delta\ln(K/L)$$
$$\boxed{\begin{aligned}&\Delta(PIB/L)\downarrow\\ \text{cuando }K/L\uparrow\Rightarrow\text{rendimientos marginales decrecientes.}\\ &\text{Contabilidad: }\Delta\ln(PIB/L)=\Delta\ln A+\alpha\Delta\ln(K/L).\end{aligned}}$$