Enunciado
En la economÃa de Cabo de la Desesperanza, la tasa de salario real de subsistencia es de $15$ dólares la hora. Siempre que el PIB real por hora de trabajo está por encima de este nivel, la población crece; y cuando el PIB real por hora de trabajo está por debajo de este nivel, la población disminuye.
La función de producción es:
- Trabajo $=0.5$ (miles de millones de horas/año), PIB real $=8$ (miles de millones de dólares de 2000)
- Trabajo $=1.0$ (miles de millones de horas/año), PIB real $=15$ (miles de millones de dólares de 2000)
- Trabajo $=1.5$ (miles de millones de horas/año), PIB real $=21$ (miles de millones de dólares de 2000)
- Trabajo $=2.0$ (miles de millones de horas/año), PIB real $=26$ (miles de millones de dólares de 2000)
- Trabajo $=2.5$ (miles de millones de horas/año), PIB real $=30$ (miles de millones de dólares de 2000)
- Trabajo $=3.0$ (miles de millones de horas/año), PIB real $=33$ (miles de millones de dólares de 2000)
- Trabajo $=3.5$ (miles de millones de horas/año), PIB real $=35$ (miles de millones de dólares de 2000)
Inicialmente, la población es constante y el PIB real por hora de trabajo está en su nivel de subsistencia ($15$). De pronto, un progreso tecnológico desplaza la función de producción hacia arriba en $50\%$ a cada nivel de trabajo.
- ¿Cuáles son los niveles iniciales de PIB real y de productividad del trabajo?
- ¿Qué sucede con la productividad del trabajo inmediatamente después del progreso tecnológico?
- ¿Qué ocurre con la tasa de crecimiento de la población después del progreso tecnológico?
- ¿Cuáles son los niveles finales de PIB real y de PIB real por hora de trabajo?
- Explique por qué estos procesos detendrán el crecimiento del PIB real por persona.
Solución Paso a Paso
Primero calculamos productividad del trabajo: $$\text{productividad}=\frac{PIB}{L}$$
El enunciado dice que al inicio la productividad es exactamente la subsistencia: $$\frac{PIB}{L}=15.$$
Buscamos en la tabla el punto donde $PIB/L=15$. Con $L=1.0$ y $PIB=15$, se cumple $$\frac{15}{1.0}=15.$$
(a) Niveles iniciales: $$PIB_0=15,\ L_0=1.0,\ \frac{PIB_0}{L_0}=15.0.$$
El progreso tecnológico sube el PIB en $50\%$ para el mismo $L$: $$PIB' = 1.5\,PIB$$
(b) Inmediatamente, con el mismo $L_0=1.0$: $$PIB'_0=1.5\cdot 15=22.5,$$ y $$\frac{PIB'_0}{L_0}=\frac{22.5}{1.0}=22.5.$$
(c) Como la productividad queda por encima de $15$, la población comienza a crecer (tasa de crecimiento poblacional positiva): $$\frac{PIB}{L}>15\Rightarrow\text{población }\uparrow$$
En el enfoque clásico, el crecimiento poblacional aumenta $L$ (más trabajadores), lo que mueve la economÃa a lo largo de la nueva función de producción.
El proceso se detiene cuando la productividad vuelve a $15$ (subsistencia). Como ahora $$\frac{PIB'}{L}=1.5\cdot\frac{PIB}{L},$$ para que $PIB'/L=15$ se requiere $PIB/L=10$.
En la tabla, $PIB/L=10$ ocurre en $L=3.5$ porque $$\frac{35}{3.5}=10.$$
(d) Entonces el nivel final es: $$L_1=3.5,\ PIB_1'=1.5\cdot 35=52.5,$$ y $$\frac{PIB_1'}{L_1}=\frac{52.5}{3.5}=15.0.$$
(e) ¿Por qué se detiene el crecimiento del PIB real por persona? Porque cuando la población crece, el trabajo aumenta y, con rendimientos decrecientes, la productividad por hora tiende a bajar.
En el modelo clásico con salario de subsistencia, cualquier ganancia de productividad se transforma en más población hasta que la productividad regresa a subsistencia, dejando $PIB/L$ (y por persona) sin crecimiento permanente.
$$\boxed{\begin{aligned}&\text{Inicial: }(L,PIB)=(1.0,15),\\ PIB/L=15.\\ &\text{Inmediato: }PIB' =1.5PIB\Rightarrow PIB/L=22.5\\ (>15)\Rightarrow\text{población crece.}\\ &\text{Final: }(L,PIB')=(3.5,52.5),\\ PIB'/L=15.\\ &\text{El crecimiento por persona se detiene porque la población ajusta hasta regresar a subsistencia.}\end{aligned}}$$