Enunciado
En el sistema $XY$, clasificar la cónica dada por $ 4 x^{2} - 12 x y - 8 \sqrt{13} x + 9 y^{2} - 14 \sqrt{13} y + 117=0 $, eliminar el término $xy$ por rotación y (si aplica) trasladar para obtener la forma canónica. Graficar.
Solución Paso a Paso
Indicador $B^2-4AC=0$ → parábola.
Diagonalizamos $Q=\left[\begin{matrix}4 & -6\\ -6 & 9\end{matrix}\right]$ para eliminar el término $xy$.
Autovalores: $\lambda_1=0$, $\lambda_2=13$.
Rotación ortonormal: $\binom{x}{y}=P\binom{U}{V}$, $P=\left[\begin{matrix}\frac{3 \sqrt{13}}{13} & - \frac{2 \sqrt{13}}{13}\\ \frac{2 \sqrt{13}}{13} & \frac{3 \sqrt{13}}{13}\end{matrix}\right]$.
En $(U,V)$: $- 52 U + 13 V^{2} - 26 V + 117=0$.
Despejamos $U$: $U=\frac{1}{4}V^2+- \frac{1}{2}V+\frac{9}{4}$.
Completando cuadrado: $U-2=\frac{1}{4}(V-1)^2$.
Forma estándar: $(V-1)^2=4p\,(U-2)$ con $p=1$.
Vértice en $(U,V)=(2,1)$; eje focal paralelo al eje $U$.
En $XY$, el vértice es $\left(\frac{4 \sqrt{13}}{13},\frac{7 \sqrt{13}}{13}\right)$ y el eje es la recta por el vértice con dirección $$\left[\begin{matrix}\frac{3 \sqrt{13}}{13}\\ \frac{2 \sqrt{13}}{13}\end{matrix}\right]$$