Fuerzas en Planos Inclinados

Si a un cuerpo le aplicamos una fuerza paralela a su vector velocidad, que además sea constante en módulo, dirección y sentido, conseguiremos que este experimente un movimiento rectilíneo uniformemente variado $m.r.u.v.$. Si además, el cuerpo estaba en reposo, el movimiento se producirá en la dirección y sentido de dicha fuerza.

Movimientos en un Plano Inclinado

Cuando un cuerpo se desliza por un plano inclinado, con un ángulo de inclinación ?, mediante un m.r.u.a. descendiendo o ascendiendo, el sistema de referencia más útil que podemos utilizar es aquel en el que hacemos coincidir el eje x con la trayectoria en línea recta que sigue el cuerpo sobre el plano. Al hacer esto, conseguimos que el cuerpo:

• Se mueva a lo largo del eje X, por lo que dado que se trata de un m.r.u.a, su aceleración a lo largo de este eje será $a_{x} = a$.
• No se mueva a lo largo del eje Y, por lo que su aceleración será $a_{y} = 0$.

Por tanto, si aplicamos la segunda ley de Newton en cada eje se cumple que: $$?F_{x}=m·a ? ?F_{y}=0$$

Si trabajas únicamente con los módulos, al calcular la fuerza resultante, recuerda que debes seguir alguno de los criterios de signos que estudiamos en el apartado Problemas de Fuerzas: Criterios de Signos

Ejemplo

Una caja de 2 kg comienza a ascender un plano inclinado de 30º con la horizontal con una velocidad inicial de 4 m/s. A medida que asciende va frenándose hasta que comienza a descender. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento es 0.25, calcular:

1. La aceleración con que sube la caja.
2. La aceleración con la que desciende.

Solución

Datos

$? = 30º$

$v_{0} = 4 m/s$

$m = 2 kg$

$? = 0.25$

cuestión a$

En primer lugar, vamos a estudiar las fuerzas que intervienen en la caja durante su ascenso:

• Como el cuerpo asciende por el plano, tenemos que tener en cuenta la fuerza de rozamiento $FR$, que por definición tiene sentido contrario al movimiento.
• Por otro lado, el cuerpo tendrá su peso $P$, que puede descomponerse en dos fuerzas $P_{x}$ y $P_{y}$ que coinciden con el eje de coordenadas.
• La fuerza normal $N$.

Aplicando el principio fundamental o segunda ley de Newton a la resultante de cada uno de los ejes por separado, obtenemos que: $$\frac{?F^{?}_{x}=m·a^{?}_{x}}{?F^{?}_{y}=m·a^{?}_{y}}?|?\frac{F^{?}_{R} + P^{?}_{x} = m · a^{?}_{x}}{N^{?} + P^{?}_{y} = m · a^{?}_{y}}$$

Si utilizamos únicamente sus módulos y tenemos en cuenta el primero de los criterios de signos estudiados en el apartado de Problemas de Fuerzas: Criterios de Signos, obtenemos que: $$\frac{-F_{R} – P_{x} = m · a_{x}}{N – P_{y} = m · a_{y}}$$

Como solo se mueve a lo largo del eje x de nuestro sistema de referencia, $a_{y} = 0$ y $a_{x} = a$: $$\frac{-F_{R} – P_{x} = m · a}{N – P_{y} = 0} ? \frac{-F_{R} – P_{x} = m · a}{N = P_{y}} ? \frac{-? · N – m · g · sin$?$ = m · a}{N = m · g · cos$?$}$$

Sustituyendo la fuerza normal obtenida en la segunda ecuación dentro de la primera ecuación, obtenemos que: $$-? · m · g · cos$?$ – m · g · sin$?$ = m · ? ? a = \frac{-? · m · g · cos$?$ – m · g · sin$?$}{m} ? a = -0.25 · 9.8 · cos$30$ -9.8 · sin$30$ ? a = -7.02 m/s^{2}$$

Durante la subida la velocidad es positiva porque el cuerpo se mueve en el sentido del semieje x positivo, sin embargo la aceleración es negativa $el vector se orienta hacia el semieje x negativo$ y provoca que vaya decrementándose hasta detenerse.

cuestión b$

Cuando el cuerpo comienza a descender actúan las mismas fuerzas que en la subida, sin embargo, dado que el movimiento es pendiente abajo, la fuerza de rozamiento cambia de sentido:

$\frac{?F^{?}_{x} = m · a^{?}_{x}}{?F^{?}_{y} = m · a^{?}_{y}}?|?\frac{F^{?}_{R} + P^{?}_{x} = m · a^{?}_{x}}{N^{?} + P^{?}_{y} = m · a^{?}_{y}}$

$\frac{-P_{x} + F_{R} = m · a_{x}}{N – P_{y} = m · a_{y}}$

Como solo se mueve a lo largo del eje x de nuestro sistema de referencia, $a_{y} = 0$ y $a_{x} = a$: $$\frac{F_{R} – P_{x} = m · a}{N – P_{y} = 0} ? \frac{F_{R} – P_{x} = m · a}{N = P_{y}} ? \frac{? · N – m · g · sin$?$ = m · a}{N = m · g · cos$?$}$$

Sustituyendo la fuerza normal obtenida en la segunda ecuación dentro de la primera ecuación, obtenemos que: $$? · m · g · cos$?$ – m · g · sin$?$ = m · ? ? a = \frac{? · m · g · cos$?$ – m · g · sin$?$}{m} ? a = 0.25 · 9.8 · cos$30$ -9.8 · sin$30$ ? a = -2.78 m/s^{2}$$

En este caso, la velocidad será negativa porque la caja se mueve en el sentido del semieje negativo, y la aceleración sigue siendo negativa, provocando que la velocidad vaya aumentando su valor en ese sentido.