Fuerzas y Masas Enlazadas

Si a un cuerpo le aplicamos una fuerza paralela a su vector velocidad, que además sea constante en módulo, dirección y sentido, conseguiremos que este experimente un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado $m.r.u.a.$. Si además, el cuerpo estaba en reposo, el movimiento se producirá en la dirección y sentido de dicha fuerza. A lo largo de este apartado nos centraremos en la dinámica de movimientos rectilíneos uniformemente acelerados en los que intervienen masas unidas por medio de cuerdas y poleas.

Movimientos de Masas Enlazadas

Cuando varias masas se encuentran unidas por medio de cuerdas y poleas, realizaremos las siguientes suposiciones a la hora de resolver los problemas para este nivel educativo:

• Las poleas carecen de masa y fuerza de rozamiento, por tanto el único efecto que producen es cambiar la dirección de la tensión de las cuerdas.
• Las cuerdas carecen de masa y son inextensibles.
• No emplearemos un sistema de referencia común para cada cuerpo, si no que en cada caso utilizaremos alguno de los estudiados en el apartado Problemas de Fuerzas: Criterios de Signos, según la dirección de la trayectoria que siga dicho cuerpo.

Ejemplo

Dado el esquema de la figura, calcular la aceleración de ambas masas sabiendo que el coeficiente de rozamiento cinético es 0.1.

 

Solución

Datos

$m_{A} = 7 kg$

$m_{B} = 5 kg$

$? = 0.1$

$a_{A} = ?$

$a_{B} = ?$

Resolución

Consideraciones previas

• La cuerda es inextensible y de masa despreciable.
• La polea tiene masa despreciable.
• Como no conocemos el sentido del movimiento, SIEMPRE tendremos que suponer alguno. Aleatoriamente elegiremos que el cuerpo B $la pesa$ consigue tirar del cuerpo A $caja$ pendiente arriba.

Una vez establecidas las consideraciones anteriores, vamos a estudiar las fuerzas que intervienen en los cuerpos anteriores $diagrama de cuerpo libre$.

Masa A $Caja$

Las fuerzas que intervienen en la caja durante su ascenso:

• Como hemos supuesto que el cuerpo asciende por el plano, tenemos que tener en cuenta la fuerza de rozamiento $$F_{R}$$, que por definición tiene sentido contrario al movimiento.
• Por otro lado, el cuerpo tendrá su peso $P$, que puede descomponerse en dos fuerzas $P_{x}$ y $P_{y}$ que coinciden con el eje de coordenadas.
• La fuerza normal $$N$$.
• La tensión de la cuerda $$TBA$$ que empuja a la caja pendiente arriba.

Aplicando el principio fundamental o segunda ley de Newton, sobre las resultantes de cada eje: $$T^{?}_{BA}+F^{?}_{R}+P^{?}_{X} = m_{A} · a^{?}_{Ax}N^{?} + P^{?}_{y} = m_{A} · a^{?}_{AY}$$

Si trabajamos únicamente con los módulos, daremos valor negativo a las fuerzas que se orientan hacia su semieje negativo y positivo a las que se orienten hacia el semieje positivo, tal y como establece el criterio de signos según los ejes cartesianos que vimos en el apartado Problemas de Fuerzas: Criterios de Signos. $$T_{BA}+F_{R}+P_{X} = m_{A} · a_{Ax}N + P_{y} = m_{A} · a_{AY}$$

Dado que la caja únicamente se mueve a lo largo del eje $x$, $a_{Ay}=0$ y $a_{Ax}=a_{A}$ $$T_{BA}-F_{R}-P_{X}= \frac{m_{A} · a_{A}}{N = Py} ? T_{BA} – ? · N – mA · g · \frac{sin$a$ = mA · aA}{N = mA · g · cos$a$}$$

Sustituyendo el valor de N en la primera ecuación, obtenemos que: $$T_{BA} – ? · m_{A} · g · cos$a$ – m_{A} · g · sin$a$ = m_{A} · a_{A} [1]$$

Masa B $Pesa$

Las fuerzas que intervienen en la pesa durante su descenso:

• El peso $P$ del cuerpo.
• La Tensión de la cuerda $TAB$ que evita que el cuerpo caiga libremente por la acción de su peso.

Sabiendo en este caso que únicamente el movimiento y las fuerzas se producen a lo largo del eje y $a_{Bx}=0, a_{By}=a_{B}$, si aplicamos la misma metodología que en el cuerpo anterior: $$T_{AB} – P = m_{B} · a_{B} ? T_{AB} – m_{B} · g = m_{B} · a_{B} ? T_{AB} = m_{B} · a_{B} + m_{B} · g [2]$$

Dado que la cuerda tiene masa despreciable y es inextensible, se cumple que $T_{AB}=T_{BA}$. Por tanto, sustituyendo la ecuación [2], en la ecuación [1], obtenemos que: $$m_{B} · a_{B} + m_{B} · g – ? · m_{A} · g · cos$a$ – m_{A} · g · sin$a$ = m_{A} · a_{A}$$

Dado que la cuerda es inextensible y sin masa, el modulo de la aceleración del cuerpo A es el mismo que el módulo de la aceleración del cuerpo B, sin embargo mientras que Aa se orienta hacia el semieje x positivo, aB lo hace hacia el negativo, por lo que aplicando el criterio de signos: $aA=-aB$. $$-m_{B} · a_{A} + m_{B} · g – ? · m_{A} · g · cos$a$ – m_{A} · g · sin$a$ = m_{A} · a_{A}$$

Por ultimo, si sustituimos los valores para calcular aA, obtenemos que: $$-5 · a_{A} + 5 · 9.8 – 0.1 · 7 · 9.8 · cos$30$ – 7 · 9.8 · sin$30$ = 7 · a_{A} ? a_{A} ? 0.73 m/s^{2}a_{B} = -0.73m/s^{2}$$

A todos los efectos, la intensidad del valor de la aceleración de los cuerpos es el mismo, sin embargo el valor negativo de la aceleración del cuerpo B nos indica que su sentido es el del semieje negativo de sus sistema de referencia.