Objetivos de aprendizaje
En esta sección, podrá:
- Representar una función lineal.
- Determinar si una función lineal es creciente, decreciente o constante.
- Calcular e interpretar la pendiente.
- Escribir la forma punto-pendiente de una ecuación.
- Escribir e interpretar una función lineal.
1
Tren MagLev de Shanghai $créditos: «kanegen»/Flickr$
Al igual que el crecimiento de una planta de bambú, hay muchas situaciones que implican un cambio constante con el paso del tiempo. Pensemos, por ejemplo, en el primer tren comercial de levitación magnética del mundo, el Tren MagLev de Shaghai $Figura 1$. Transporta cómodamente a los pasajeros en un viaje de 30 kilómetros desde el aeropuerto hasta la estación de metro en apenas ocho minutos.2
Supongamos que un tren de levitación magnética recorre una larga distancia, a una velocidad constante de 83 metros por segundo durante un tiempo una vez que se aleja 250 metros de la estación. ¿Cómo analizaríamos la distancia del tren a la estación en función del tiempo? En esta sección, investigaremos un tipo de función que sirve para este propósito, y la utilizaremos para investigar situaciones del mundo real como la distancia del tren a la estación en un momento dado.
Representar funciones lineales
La función que describe el movimiento del tren es una función lineal, la cual se define como una función con una tasa de cambio constante, es decir, un polinomio de grado 1. Hay varias formas de representar una función lineal, entre ellas la forma verbal, la notación de funciones, la forma tabular y la forma gráfica. Describiremos el movimiento del tren como una función mediante el empleo de cada método.
Representar una función lineal en forma verbal
Empecemos por describir la función lineal con palabras. Para el problema del tren que acabamos de considerar, se puede utilizar la siguiente frase para describir la relación de funciones.
- La distancia entre el tren y la estación es una función del tiempo durante el cual el tren se mueve a una velocidad constante más su distancia original a la estación cuando comenzó a moverse a velocidad constante.
La velocidad es la tasa de cambio. Recordemos que la tasa de cambio es una medida de la rapidez con la que cambia la variable dependiente con respecto a la variable independiente. La tasa de cambio para este ejemplo es constante, lo que significa que es la misma para cada valor de entrada. A medida que el tiempo $entrada$ aumenta en 1 segundo, la distancia correspondiente $salida$ aumenta en 83 metros. El tren comenzó a moverse a esta velocidad constante a una distancia de 250 metros de la estación.
Representar una función lineal en notación de funciones
Otro enfoque para representar funciones lineales es utilizar la notación de funciones. Un ejemplo de notación de funciones es una ecuación escrita en lo que se conoce como forma pendiente-intersección de una línea, donde
x
xes el valor de entrada,
m
mes la tasa de cambio y
b
bes el valor inicial de la variable dependiente.
Forma de la ecuación
y=mx+b
Notación de la ecuación
f$x$=mx+b
Forma de la ecuación
y=mx+b
Notación de la ecuación
f$x$=mx+b
En el ejemplo del tren, podríamos utilizar la notación
D$t$
D$t$
en la que la distancia total
D
Des una función del tiempo
t.
t.
La tasa,
m,
m,
es de 83 metros por segundo. El valor inicial de la variable dependiente
b
bes la distancia original de la estación, 250 metros. Podemos escribir una ecuación generalizada para representar el movimiento del tren.
D$t$=83t+250
D$t$=83t+250
Representar una función lineal en forma tabular
Un tercer método para representar una función lineal es mediante el uso de una tabla. La relación entre la distancia de la estación y el tiempo se representa en la Figura 2. En la tabla, podemos ver que la distancia cambia en 83 metros por cada aumento de 1 segundo en el tiempo.
2
Representación tabular de la función D con los valores de entrada y salida seleccionados
Preguntas y respuestas
¿La entrada en el ejemplo anterior puede ser cualquier número real?
No. La entrada representa el tiempo, por lo que, si bien los números racionales e irracionales no negativos son posibles, los números reales negativos no son posibles para este ejemplo. La entrada consiste en números reales no negativos.
Representar una función lineal de forma gráfica
Otra forma de representar las funciones lineales es visualmente, mediante un gráfico. Podemos utilizar la relación de funciones de arriba,
D$t$=83t+250,
D$t$=83t+250,
para dibujar un gráfico, representado en la Figura 3. Observe que el gráfico es una línea. Cuando trazamos una función lineal, el gráfico es siempre una recta.
La tasa de cambio, que es constante, determina la inclinación o pendiente de la línea. El punto en el que el valor de entrada es cero es la intersección vertical, o intersección en y, de la línea. Podemos ver en el gráfico de la Figura 3 que la intersección en y en el ejemplo del tren que acabamos de ver es
$0,250$
$0,250$
y representa la distancia del tren a la estación cuando comenzó a moverse a velocidad constante.
3
el gráfico de
D$t$=83t+250.
D$t$=83t+250.
Los gráficos de las funciones lineales son líneas porque la tasa de cambio es constante.
Observe que el gráfico del ejemplo del tren está restringido, pero no siempre es así. Considere el gráfico de la línea
f$
x
$=2
x
+1.
f$
x
$=2
x
+1.
Pregúntese qué números se pueden introducir en la función, es decir, cuál es el dominio de la función. El dominio está compuesto por todos los números reales porque cualquier número puede duplicarse, y luego sumar uno al producto.
Función lineal
La función lineal es aquella cuya representación gráfica es una línea. Las funciones lineales se escriben en la forma pendiente-intersección de una línea.
f$x$=mx+b
f$x$=mx+b
donde
b
bes el valor inicial o de partida de la función $cuando se introduce,
x=0
x=0
$, y
m
mes la tasa de cambio constante de la función, o pendiente de la función. Así que la intersección en y está en
$0,b$.
$0,b$.
Ejemplo
1
Usar una función lineal para hallar la presión en un buceador
La presión,
P,
P,
en libras por pulgada cuadrada $PSI$ en el buceador en la Figura 4 depende de su profundidad bajo la superficie del agua,
d,
d,
en pies. Esta relación puede modelarse mediante la ecuación
P$d$=0,434d+14,696.
P$d$=0,434d+14,696.
Repita esta función con palabras.
4
$Créditos: Ilse Reijs y Jan-Noud Hutten$
Solución
Para replantear la función en palabras tenemos que describir cada parte de la ecuación. La presión en función de la profundidad es igual a cuatrocientos treinta y cuatro milésimas de la profundidad más catorce y seiscientos noventa y seis milésimas.
Análisis
El valor inicial, 14,696, es la presión en PSI sobre el buceador a una profundidad de 0 pies, que es la superficie del agua. La tasa de cambio, o pendiente, es de 0,434 PSI por pie. Esto nos indica que la presión sobre el buceador aumenta 0,434 PSI por cada pie que aumenta su profundidad.
Determinar si una función lineal es creciente, decreciente o constante
Las funciones lineales que hemos utilizado en los dos ejemplos anteriores aumentan con el tiempo, pero no todas lo hacen. La función lineal puede ser creciente, decreciente o constante. En el caso de una función creciente, como en el ejemplo del tren, los valores de salida aumentan a medida que aumentan los valores de entrada. El gráfico de la función creciente tiene una pendiente positiva. Una línea con pendiente positiva se inclina hacia arriba de izquierda a derecha como en Figura 5$a$. En el caso de una función decreciente, la pendiente es negativa. Los valores de salida disminuyen a medida que aumentan los valores de entrada. Una línea con pendiente negativa se inclina hacia abajo de izquierda a derecha como en la Figura 5$b$. Si la función es constante, los valores de salida son los mismos para todos los valores de entrada, por lo que la pendiente es cero. Una línea con pendiente cero es horizontal como en la Figura 5$c$.
5
Funciones crecientes y decrecientes
La pendiente determina si la función es una función lineal creciente, una función lineal decreciente o una función constante.
f$x$=mx+b es una función creciente si m>0,
f$x$=mx+b es una función creciente si m>0,
f$x$=mx+b es una función decreciente si m<0,
f$x$=mx+b es una función decreciente si m<0,
f$x$=mx+b es una función constante si m=0,
f$x$=mx+b es una función constante si m=0,
Ejemplo
2
Decidir si una función es creciente, decreciente o constante
Los estudios de principios de la primera década del siglo XXI indicaban que los adolescentes enviaban unos 60 mensajes de texto al día, mientras que los datos más recientes indican tasas de mensajería mucho más elevadas entre todos los usuarios, sobre todo teniendo en cuenta las diversas aplicaciones con las que la gente puede comunicarse. Para cada una de las siguientes situaciones, halle la función lineal que describa la relación entre el valor de entrada y el valor de salida. A continuación, determine si el gráfico de la función es creciente, decreciente o constante.
- ? El número total de textos que envía un adolescente se considera en función del tiempo en días. La entrada es el número de días, y la salida es el número total de textos enviados.
- ? Una persona tiene un límite de 500 mensajes de texto al mes en su plan de datos. La entrada es el número de días, y la salida es el número total de textos que quedan para el mes.
- ? Una persona tiene un número ilimitado de mensajes de texto en su plan de datos por un costo de 50 dólares al mes. La entrada es el número de días, y la salida es el costo total de los mensajes de texto cada mes.
Solución
Analice cada función.
- ? La función puede representarse como
f$x$=60x
f$x$=60x
dondex
xes el número de días. La pendiente, 60, es positiva, por lo que la función es creciente. Esto tiene sentido porque el número total de textos aumenta cada día. - ? La función puede representarse como
f$x$=500?60x
f$x$=500?60x
dondex
xes el número de días. En este caso, la pendiente es negativa, por lo que la función es decreciente. Esto tiene sentido porque el número de textos restantes disminuye cada día y esta función representa el número de textos restantes en el plan de datos después dex
xdías. - ? La función de costo puede representarse como
f$x$=50
f$x$=50
porque el número de días no incide en el costo total. La pendiente es 0, por lo que la función es constante.
Calcular e interpretar la pendiente
En los ejemplos que hemos visto hasta ahora, nos han proporcionado la pendiente. Sin embargo, a menudo necesitamos calcular la pendiente dados los valores de entrada y salida. Dados dos valores de entrada,
x
1
x
1
y
x
2
,
<msu
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