Objetivos de aprendizaje
En esta sección, podrá:
- Determinar si una relación representa una función.
- Hallar el valor de una función.
- Determinar si una función es biunívoca.
- Utilizar la prueba de la línea vertical para identificar las funciones.
- Graficar las funciones que aparecen en la biblioteca de funciones.
Un avión de pasajeros cambia de altitud a medida que aumenta su distancia desde el punto de partida de un vuelo. El peso de un niño en crecimiento aumenta con el tiempo. En cada caso, una cantidad depende de otra. Existe una relación entre ambas cantidades que podemos describir, analizar y utilizar para hacer predicciones. En esta sección, analizaremos estas relaciones.
Determinar si una relación representa una función
La relación es un conjunto de pares ordenados. El conjunto de las primeras componentes de cada par ordenado se llama dominio y el conjunto de las segundas componentes de cada par ordenado se llama rango. Considere el siguiente conjunto de pares ordenados. Los primeros números de cada par son los cinco primeros números naturales. El segundo número de cada par es el doble del primero.
{$1,2 $,$2 ,4$,$3,6$,$4,8$,$5,10$}
{$1,2 $,$2 ,4$,$3,6$,$4,8$,$5,10$}
El dominio es
{1,2 ,3,4,5}.
{1,2 ,3,4,5}.
El rango es
{2 ,4,6,8,10}.
{2 ,4,6,8,10}.
Observe que cada valor en el dominio también se conoce como un valor de entrada, o variable independiente, y se suele marcar con la letra minúscula
x.
x.Cada valor del rango se conoce también como valor de salida, o variable dependiente, y se suele marcar con letra minúscula
y.
y.
Una función
f
fes una relación que asigna un único valor del rango a cada valor del dominio. Es decir, no se repiten los valores x. Para nuestro ejemplo que relaciona los cinco primeros números naturales con los números del doble de sus valores, esta relación es una función porque cada elemento del dominio,
{1,2 ,3,4,5},
{1,2 ,3,4,5},
está emparejado con exactamente un elemento del rango,
{2 ,4,6,8,10}.
{2 ,4,6,8,10}.
Consideremos ahora el conjunto de pares ordenados que relaciona los términos «par» e «impar» con los cinco primeros números naturales. Aparecerían como
{
$impar,1$,$números,2 $,$impar,3$,$números,4$,$impar,5$
}
{
$impar,1$,$números,2 $,$impar,3$,$números,4$,$impar,5$
}
Observe que cada elemento en el dominio,
{par,impar}
{par,impar}
no está emparejado con exactamente un elemento en el rango,
{1,2 ,3,4,5}.
{1,2 ,3,4,5}.
Por ejemplo, el término «impar» corresponde a tres valores del rango,
{1,3,5}
{1,3,5}
y el término «par» corresponde a dos valores del rango,
{2 ,4}.
{2 ,4}.
Esto viola la definición de una función, por lo que esta relación no es una función.
La Figura 1 compara las relaciones que son funciones y las que no lo son.
1
$a$ Esta relación es una función porque cada entrada está asociada a una única salida. Observe que las entradas q
qy
r
rproducen una salida
n.
n.
$b$ Esta relación también es una función. En este caso, cada entrada está asociada a una única salida. $c$ Esta relación no es una función porque la entrada
q
qse asocia a dos salidas diferentes.
Función
Una función es una relación en la que cada valor de entrada posible conduce exactamente a un valor de salida. Decimos: «La salida es una función de la entrada».
Los valores de entrada constituyen el dominio, y los de salida, el rango.
Cómo
Dada una relación entre dos cantidades, determine si la relación es una función.
- Identifique los valores de entrada.
- Identifique los valores de salida.
- Si cada valor de entrada conduce a un solo valor de salida, clasifique la relación como una función. Si cualquier valor de entrada conduce a dos o más salidas, no clasifique la relación como una función.
Ejemplo
1
Cómo determinar si las listas de precios de los menús son funciones
El menú de la cafetería, que se muestra en la Figura 2, consta de artículos y sus precios.
- ? ¿El precio está en función del artículo?
- ? ¿El artículo está en función del precio?
2
Solución
- ? Empecemos por considerar la entrada como los elementos del menú. Los valores de salida son entonces los precios. Vea la Figura 3.
Figura
3Cada artículo del menú tiene un solo precio, por lo que el precio está en función del artículo.
- ? Dos artículos del menú tienen el mismo precio. Si consideramos que los precios son los valores de entrada y los artículos son la salida, entonces el mismo valor de entrada podría tener más de una salida asociada. Vea la Figura 4.
Figura
4Por lo tanto, el artículo no está en función del precio.
Ejemplo
2
Cómo determinar si las reglas de calificación de la clase son funciones
En una clase particular de Matemáticas, el porcentaje global de la calificación corresponde a un promedio de calificaciones. ¿El promedio de calificaciones está en función del porcentaje de calificaciones? ¿Es el porcentaje de calificación una función de la media de las calificaciones? La Tabla 1 muestra una posible regla para asignar puntos de calificación.
| Porcentaje de calificaciones | 0 a 56 | 57 a 61 | 62 a 66 | 67 a 71 | 72 a 77 | 78 a 86 | 87 a 91 | 92 a 100 |
| Promedio de calificaciones | 0,0 | 1,0 | 1,5 | 2,0 | 2,5 | 3,0 | 3,5 | 4,0 |
1
Solución
Para cualquier porcentaje de calificación obtenido, existe un promedio de calificación asociado, por lo que el promedio de calificación es una función del porcentaje de calificación. En otras palabras, si introducimos el porcentaje de calificación, la salida es un promedio de calificaciones específico.
En el sistema de calificaciones dado, hay un rango de porcentajes que corresponden al mismo promedio de calificaciones. Por ejemplo, los estudiantes que reciben un promedio de 3,0 pueden tener una variedad de porcentajes de calificaciones que van desde 78 hasta 86. Por lo tanto, el porcentaje de calificaciones no está en función del promedio de calificaciones.
Inténtelo
#1
La Tabla 21 enumera los cinco mejores jugadores de béisbol de todos los tiempos por orden de clasificación.
| Jugador | Clasificación |
|---|---|
| Babe Ruth | 1 |
| Willie Mays | 2 |
| Ty Cobb | 3 |
| Walter Johnson | 4 |
| Hank Aaron | 5 |
2
- ? ¿La clasificación está en función del nombre del jugador?
- ? ¿El nombre del jugador está en función de la clasificación?
Uso de la notación de función
Una vez que determinamos que una relación es una función, necesitamos mostrar y definir las relaciones funcionales para poder entenderlas y utilizarlas, y a veces también para poder programarlas en las computadoras. Hay varias formas de representar las funciones. La notación de función estándar es una representación que facilita el trabajo con las funciones.
Para representar «la altura es una función de la edad», empezamos por identificar las variables descriptivas
h
hpara la altura y
a
apara la edad. Las letras
f,g,
f,g,
y
h
h
se utilizan a menudo para representar funciones al igual que utilizamos
x,y,
x,y,
y
c
cpara representar números y
A,B,
A,B,
y
C
Cpara representar conjuntos.
h es f de a
Llamamos a la función f; la altura es una función de la edad.
h=f$a$
Utilizamos paréntesis para indicar la entrada de la función.
f$a$
Llamamos a la función f; la expresión se lee como «f de a.»
h es f de a
Llamamos a la función f; la altura es una función de la edad.
h=f$a$
Utilizamos paréntesis para indicar la entrada de la función.
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