Traslaciones

Definimos una traslación como una isometría del plano euclídeo caracterizada por un vector $\vec{u}$, al que a cada punto $A$ del plano le hace corresponder $A’$ cumpliendo lo siguiente:

$$ \begin{array}{rcl} T: E & \rightarrow & E \\ A & \rightarrow &
A’=T$A$=A+\vec{u} \end{array}$$

o lo que es lo mismo, que su sistema de ecuaciones asociado es de la forma:

$$ \begin{pmatrix} x’_1 \\ x’_2 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} $$

Por la correspondencia entre puntos, podemos entender las traslaciones como movimientos directos sin cambios de orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras u objetos trasladados, a las cuales deslizan según el vector. Dado el carácter de isometría para cualesquiera puntos $A$ y $B$ se cumple la siguiente identidad entre distancias:

$$d $A, B$ = d $T $A$, T $B$$ = d $A ‘, B’$$$

o más aún: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A’B’}$.

Obsérvese que la inversa de una traslación es $$T_u$^{-1}=T_{-u}$, o sea, que es hacer la traslación del vector opuesto.

Como remarcas finales de la sección de traslaciones, nótese que estas preservan las figuras idénticas y que conservan además la misma posición que las originales $con posición de la figura no nos referimos a las mismas coordenadas dentro del plano$.

Para terminar, vamos a dar cómo se debe proceder para calcular los trasladados de las siguientes figuras:

• Traslación de un segmento: Para calcular el transformado de un segmento, basta calcular los transformados de los extremos y unirlos.
• Traslación de una recta: Calculamos los transformados de dos de los puntos de la recta y luego los unimos para obtener la transformada de la recta.
• Traslación de ángulos: Un ángulo viene dado por la intersección de dos rectas en un determinado punto, por consiguiente, para calcular el transformado del ángulo bastará con calcular las transformaciones de las rectas y así obtendremos la transformación del ángulo

A partir de estas tres transformaciones básicas, se podrá calcular los trasladados de cualquier figura dado que en el plano cualquier objeto se reduce a composición de los tres elementos anteriormente descritos.

Ejemplo