Esquema de clasificación de transformaciones geométricas

Sea el sistema de ecuaciones
$$ begin{pmatrix} x’ \ y’ end{pmatrix} =
begin{pmatrix} 2 & 1 \ -1 & 1 end{pmatrix} cdot
begin{pmatrix} x \ y end{pmatrix}$$

vamos a ver que tipo de transformación se trata. Para empezar, vamos a calcular:

$$det $A$=2-$-1$=2+1=3>0$$

Por lo tanto, se trata de una transformacón directa. Además, como su determinante es distinto de $1$, la transformación es una semejanza, por lo tanto, dicha transformación nos triplica las distancias entre los puntos y las longitudes de los segmentos del plano.

Dado el siguiente sistema
$$ begin{pmatrix} x’ \ y’ end{pmatrix} =
begin{pmatrix} -1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix} cdot
begin{pmatrix} x \ y end{pmatrix}$$

decir que tipo de transformación es.

Como $det $A$ = -1$, la transformación es inversa y la única transformación inversa es la simetría axial. Por lo tanto, esta transformación se trata de una simetría axial de eje el eje de ordenadas.

Finalmente, vamos a dar un ejemplo de giro. Considérese el sistema de ecuaciones siguiente:

$$ begin{pmatrix} x’ \ y’ end{pmatrix} =
begin{pmatrix} dfrac{1}{2} & dfrac{sqrt{3}}{2} \
-dfrac{sqrt{3}}{2} & dfrac{1}{2} end{pmatrix} cdot
begin{pmatrix} x \ y end{pmatrix}$$

Entonces el determinante del sistema es :

$$det$a$=dfrac{1}{2}cdot dfrac{1}{2} + dfrac{sqrt{3}}{2}cdotdfrac{sqrt{3}}{2}= dfrac{1}{4}+dfrac{3}{4}=1>0$$

por lo tanto, se trata de una transformación directa. Además, como $det $A$ = 1$,se trata de una transformación isométrica y finalmente, como no tenemos término $b$, se debe de tratar de un giro.