Volumen 4: Temas avanzados en geometría diferencial Capítulo 1: Geometría riemanniana y curvatura Variedades riemannianas y tensores métricos Conexión de Levi-Civita y derivadas covariantes Tensor de curvatura y curvatura seccional Curvatura de Ricci y curvatura escalar Propiedades de curvatura y teoremas de comparación Geodésicas y mapa exponencial Capítulo 2: Conexiones y Teoría de haces Haces vectoriales y haces de fibras Haces tangentes y haces de marco Haces principales y haces asociados Formas de conexión y curvatura Holonomía y transporte paralelo Teoría de Yang-Mills y conexiones de gauge
Capítulo 3: Geometría simpléctica Variedades simplécticas y formas simplécticas Teorema de Darboux y coordenadas locales Simplectomorfismos y Campos vectoriales hamiltonianos Corchetes de Poisson y variedades de Poisson Reducción simpléctica y mapas de momentos Capítulo 4: Topología algebraica y geometría diferencial Grupos de homotopía y homología Secuencia de Mayer-Vietoris y descomposición de Hodge Cohomología de De Rham y dualidad de Poincaré Teoría de Chern-Weil y clases características Isomorfismo y cobordismo de Thom teoría Capítulo 5: Variedades complejas y geometría de Kähler Estructuras complejas y funciones holomorfas Métrica hermitiana y variedades de Kähler Potenciales de Kähler y formas de Kähler Teoría de Hodge y formas armónicas en variedades complejas Variedades de Calabi-Yau y simetría especular
Capítulo 6: Temas de análisis geométrico Superficies mínimas y jabón burbujas Flujo de curvatura media y flujo de Ricci Teoría de Morse y puntos críticos Teoremas del índice y teorema del índice de Atiyah-Singer Desigualdades geométricas y el teorema de Gauss-Bonnet Capítulo 7: Estructuras geométricas y holonomía Geometrías generalizadas y estructuras G Grupos de holonomía y clasificación de Berger Holonomía especial y paralelo espinores Holonomía excepcional y estructuras G2 y Spin(7) Capítulo 8: Geometría global y topología Teorema de Gauss-Bonnet e integrales de curvatura Teoría de nudos y teorema de Fary-Milnor Geometría sistólica y desigualdad de Gromov Topología geométrica y conjetura de geometrización de Thurston Recuerde, esto es una descripción general amplia y no una lista exhaustiva de temas.