Análisis de Estructuras con No Linealidad Geométrica – Juan Tomás Celigüeta – 1ra Edición

1 INTRODUCCIÓN 1
1.1 Configuración y movimiento 2
1.2 Planteamientos material y espacial 3

2 MEDIDA DE LA DEFORMACIÓN 5
2.1 Tensor gradiente de deformación 5
2.2 Tensores gradiente de desplazamientos 7
2.3 Tensor derecho de Cauchy-Green. 8
2.4 Tensor izquierdo de Cauchy-Green 9
2.5 Descomposición polar del tensor gradiente de deformación 9
2.6 Cambios de volumen y de área 12
2.7 Variación de los tensores gradiente 13
2.8 Tensor infinitesimal de deformaciones unitarias 14
2.9 Tensor de deformaciones unitarias de Green-Lagrange 15
2.9.1 Expresión vectorial del tensor de Green-Lagrange 17
2.10 Variación del tensor de Green-Lagrange 19
2.10.1 En función del gradiente de desplazamientos. 19
2.10.2 En función del tensor infinitesimal de deformaciones unitarias 19
2.10.3 Variación del tensor de Green-Lagrange en forma de vector 19
2.11 Tensor de deformaciones unitarias euleriano 20
2.12 Tensores incrementales 20
2.12.1 Tensor incremental de Green-Lagrange 21
2.12.2 Tensor incremental actualizado de Green-Lagrange 21
2.13 Velocidad 22
2.13.1 Derivada temporal material 22
2.13.2 Tensor gradiente de velocidad 23
2.13.3 Derivada temporal del tensor de Green 23
2.13.4 Tasa de deformación 23

3 TENSIONES. ECUACIONES CONSTITUTIVAS 26
3.1 Tensor de tensiones de Cauchy 26
3.2 Primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff 29
3.3 Segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff 30
3.4 Ecuaciones constitutivas 32
3.4.1 El tensor de elasticidad 33
3.4.2 Material de St. Venant-Kirchhoff 33
3.4.3 Material hiperelástico isótropo 34
3.4.4 Material neo-hookeano compresible 36
3.4.5 Materiales incompresibles 36
3.4.6 Materiales casi incompresibles 37
4 ECUACIONES DE EQUILIBRIO 40
4.1 Equilibrio de fuerzas 40
4.2 Equilibrio de momentos 41
4.3 Principio del trabajo virtual 42
4.3.1 Expresión del trabajo virtual interior en función del tensor P 44
4.3.2 Expresión del trabajo virtual interior en función del tensor S 44

5 FORMULACIÓN LAGRANGIANA TOTAL 46
5.1 Trabajo virtual interior 46
5.2 Ecuaciones de equilibrio 49
5.3 Linealización de las ecuaciones de equilibrio 49
5.3.1 Componente material 51
5.3.2 Componente geométrica 52
5.3.3 Matriz de rigidez tangente 54
5.3.4 Ecuaciones de equilibrio incrementales 54
5.4 Formulación isoparamétrica 56
5.4.1 Interpolación de coordenadas y deformaciones 56
5.4.2 Transformación de derivadas 56
5.4.3 Gradientes de la deformación 57
5.4.4 Matriz G0 58
5.4.5 Matriz de rigidez tangente 59
5.4.6 Vector de fuerzas interiores 60
5.5 Fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores 60
5.6 Fuerzas dependientes de la deformación 61
5.6.1 Fuerza de presión uniforme 63
5.6.2 Formulación isoparamétrica 66
5.6.3 Fuerza de presión sobre el lado de un dominio plano 67
5.7 Formulación mixta 69
5.7.1 Interpolación de tensiones 69
5.7.2 Ecuación de equilibrio 71
5.7.3 Vector de fuerzas interiores 72
5.7.4 Linealización de las ecuaciones de equilibrio 73

6 FORMULACIÓN LAGRANGIANA ACTUALIZADA 75
6.1 Trabajo virtual 75
6.2 Ecuación de equilibrio 77
6.3 Linealización de las ecuaciones de equilibrio 77
6.3.1 Componente material 78
6.3.2 Componente geométrica 78
6.3.3 Matriz de rigidez tangente 79
6.3.4 Ecuaciones de equilibrio incrementales 80
6.4 Formulación isoparamétrica 80
6.4.1 Interpolación de coordenadas y deformaciones 80
6.4.2 Transformación de derivadas 81
6.4.3 Matriz G 82
6.4.4 Matriz tangente 82
6.4.5 Vector de fuerzas interiores 83
6.5 Fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores 83
6.6 Cálculo de la tensión de Cauchy. Material lineal 83
6.7 Formulación mixta 85
6.7.1 Interpolación de tensiones 85
6.7.2 Principio variacional de la formulación mixta 85
6.7.3 Ecuación de equilibrio 88
6.7.4 Vector de fuerzas interiores 89
6.7.5 Linealización de las ecuaciones de equilibrio 89

7 ELEMENTOS BARRA ARTICULADA Y VIGA PLANAS 91
7.1 Barra biarticulada plana. Formulación lagrangiana total 91
7.1.1 Deformación unitaria 92
7.1.2 Esfuerzos y tensiones 94
7.1.3 Vector de fuerzas interiores 94
7.1.4 Matriz de rigidez tangente 95
7.1.5 Formulación isoparamétrica 97
7.2 Barra biarticulada plana. Formulación co-rotacional 99
7.2.1 Deformación unitaria 100
7.2.2 Vector de fuerzas interiores 101
7.2.3 Matriz de rigidez tangente 102
7.3 Viga plana. Formulación co-rotacional 103
7.3.1 Deformación axial y esfuerzo axial 104
7.3.2 Deformación y momentos de flexión 105
7.3.3 Deformaciones virtuales 106
7.3.4 Trabajo virtual. Fuerzas interiores 107
7.3.5 Matriz de rigidez tangente 107

8 FLEXIÓN DE PLACAS. FORMULACIÓN LAGRANGIANA 110
8.1 Campo de deformaciones 110
8.2 Deformaciones unitarias 111
8.2.1 Variación de la deformación unitaria 113
8.3 Deformaciones unitarias de cortadura 116
8.4 Tensiones 117
8.5 Esfuerzos interiores 118
8.6 Ecuación constitutiva 118
8.6 Trabajo virtual interior y vector de fuerzas interiores 119
8.7 Linealización. Matriz de rigidez tangente 119

9 CÁSCARAS 123
9.1 Introducción 123
9.2 Definición geométrica 124
9.2.1 Métrica del estado deformado 125
9.2.2 Métrica del estado inicial 126
9.2.3 Sistema convectivo en el plano medio 126
9.3 Parametrización de las rotaciones 127
9.3.1 Rotación del vector director 128
9.4 Deformación unitaria 130
9.5 Formulación en coordenadas cartesianas 131
9.6 Deformaciones unitarias en coordenadas cartesianas 132
9.7 Interpolación por el MEF 132
9.7.1 Jacobiana de la transformación 133
9.7.2 Sistema cartesiano director en los nudos 134
9.7.3 Interpolación del vector director en el estado inicial 135
9.7.4 Interpolación del incremento del vector director 135
9.7.5 Grados de libertad de giro 136
9.8 Variación de las deformaciones unitarias 136
9.8.1 Deformaciones unitarias de membrana 136
9.8.2 Deformaciones unitarias de flexión 137
9.8.3 Deformaciones de cortadura. Formulación en desplazamiento 139
9.8.4 Campo impuesto de deformaciones unitarias de cortadura 139
9.8.5 Expresión final 141
9.9 Esfuerzos interiores 141
9.10 Trabajo virtual. Fuerzas equivalentes a los esfuerzos interiores 143
9.11 Ecuaciones incrementales de equilibrio 143
9.11.1 Componente material de la matriz tangente 144
9.11.2 Componente geométrica de la matriz tangente 144
9.12 Actualización de la geometría 150

10 RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES INCREMENTALES 152
10.1 Introducción 152
10.2 Método incremental puro 154
10.3 Método de Newton-Raphson 155
10.4 Método de Newton modificado 156
10.5 Métodos restringidos 157
10.5.1 Método del plano normal 159
10.5.2 Método del plano normal actualizado 159
10.6 Método de la longitud del arco 160
10.6.1 Comienzo de la iteración en el primer paso de carga 163
10.6.2 Comienzo de la iteración en los restantes pasos de carga 164
10.7 Criterios de convergencia 165

11 DINÁMICA 167
11.1 Ecuaciones de equilibrio en dinámica 167
11.2 Principio del trabajo virtual en dinámica 168
11.3 Formulación lagrangiana total 170
11.4 Método de integración explícito basado en diferencias centrales 171
11.5 Estabilidad del método de diferencias centrales 172
11.5.1 Paso de integración crítico en problemas unidimensionales 173
11.5.2 Pasos críticos de integración para diversos elementos finitos 174
11.6 Métodos implícitos de integración de paso simple 175
11.7 Criterios de convergencia 178

12 EJEMPLOS 180
12.1 Barra apoyada - deslizante 180
12.2 Barra deslizante apoyada elásticamente 183
12.3 Voladizo muy flexible 184
12.4 Celosía en L 186
12.5 Pórtico biarticulado 187
12.5.1 Modelo con elementos viga 187
12.5.2 Modelo con elementos planos de 4 nudos 189
12.6 Barra apoyada – deslizante. Dinámica 191
12.7 Voladizo muy flexible. Dinámica 192
12.8 Cable pretensado 194
12.9 Arco circular esbelto 196
12.9.1 Modelo con elementos viga 196
12.9.2 Modelo con elementos de 4 nudos 197
12.10 Lámina flexible sometida a un momento en el extremo 199
12.10.1 Modelo con vigas 199
12.10.2 Modelo con cáscaras 201
12.11 Semiesfera con orificio

13 ANEJOS 205
13.1 Notación 205
13.1.1 Notación de índices 205
13.1.2 Notación de tensores 205
13.1.3 Notación de matrices 206
13.2 Preliminares matemáticos 206
13.2.1 Resumen de álgebra de vectores y tensores 206
13.2.2 Representación de matrices como vectores 208
13.2.3 Traza 209
13.2.4 Gradiente 209
13.2.5 Divergencia 210
13.2.6 Teoremas de integración 212
13.3 Procedimientos Matlab 213
BIBLIOGRAFÍA 214