Desigualdades – Radmila Bulajich Manfrino, José Antonio Gómez Ortega, Rogelio Valdez Delgado – 1ra Edición

Este libro está dirigido a estudiantes de las Olimpiadas de Matemáticas que quieren prepararse en el estudio de desigualdades, tema ahora frecuente en los concursos de matemáticas de distintos niveles. En este volumen se presentan las desigualdades clásicas y desde luego las más útiles para enfrentar y resolver problemas de optimización. Para la presentación de los temas, el libro se ha dividido en cuatro capítulos.

El capítulo 1 de desigualdades numéricas contiene las desigualdades básicas. La mayoría de ellas son desigualdades numéricas que en general carecen de una interpretación geométrica, sin embargo cuando es posible darla ésta se incluye. Se hace notar la importancia de algunas de ellas, por ejemplo, la desigualdad entre la media geométrica y la media aritmética, la desigualdad de Cauchy-Schwarz, la desigualdad del reacomodo, la desigualdad de Jensen, la desigualdad de Muirhead, entre otras.

Para todas ellas, además de su justificación, se presentan varios ejemplos que muestran cómo utilizarlas en problemas del tipo de olimpiadas de matemáticas. También se hace notar cómo la estrategia de sustitución se utiliza para deducir varias desigualdades. En el capítulo 2 de desigualdades geométricas, se ejemplifica el uso de las desigualdades numéricas básicas del capítulo 1 para resolver problemas geométricos. Se trabaja también, en esta parte, con desigualdades que tienen un fuerte contenido geométrico, iniciando con hechos básicos como la desigualdad del triángulo y la desigualdad de Euler.

Introducimos ejemplos donde el carácter simétrico en las variables ayuda a resolver algunos problemas, se hace también énfasis en cómo los cambios de variable se utilizan para deducir varias de ellas. Resaltamos entre éstos la transformación de Ravi y la correspondencia entre una desiguladad en términos de las longitudes de los lados de un triángulo a, b, c y las desigualdades correspondientes en términos de s, r y R, el semiperímetro, el inradio y el circunradio del triángulo, respectivamente. Se incluyen también varios problemas geométricos clásicos haciendo hincapié en los métodos utilizados para resolverlos. En el capítulo 3 se presentan ciento veinte problemas de desigualdades que han aparecido en concursos recientes, cubriendo todos los niveles desde olimpiadas nacionales, regionales hasta competencias internacionales.

En el capítulo 4, se dan las soluciones a cada uno de los doscientos diez ejercicios de los capítulos 1 y 2, así como a los problemas presentados en el capítulo 3. La mayoría de las soluciones de los ejercicios o problemas que han aparecido en competencias internacionales de matemáticas se extrajeron de las soluciones oficiales de cada uno de los concursos. Esta es la razón por la cual no damos créditos individuales por ellas. Una gran parte de los ejercicios y problemas de desigualdades se pueden resolver utilizando distintas técnicas, es por ello que encontrará algunos ejercicios repetidos, pero en diferentes secciones.

Esto le indicará que puede encontrar, con la técnica desarrollada en la sección correspondiente, una manera de resolver el ejercicio utilizando dicha herramienta. El material presentado en este libro ha sido acumulado durante los últimos quince a˜nos, principalmente durante las sesiones de trabajo con estudiantes que han ganado el concurso nacional de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas; estos estudiantes se estaban preparando para las competencias internacionales en las que México participa. Quisieramos agradecer a Rafael Martínez Enríquez, Leonardo Ignacio Martínez Sandoval, David Mireles Morales, Jesús Rodríguez Viorato y Pablo Soberón Bravo por su cuidadosa revisión del texto y sus valiosos comentarios, lo cual permitió mejorar la presentación del libro.