Elementary Differential Geometry – Barrett O’Neill – 2nd Edition

Este libro es una descripción elemental de la geometría de curvas y superficies. Está escrito para estudiantes que han completado cursos estándar de cálculo y álgebra lineal, y su objetivo es presentar algunas de las ideas principales de la geometría diferencial. El lenguaje del libro se establece en el Capítulo 1 mediante una revisión del contenido central del cálculo diferencial, enfatizando la linealidad. El Capítulo 2 describe el método de marcos móviles, que se introduce, como en el cálculo elemental, para estudiar curvas en el espacio. (Resulta que este método se aplica con igual eficiencia a las superficies.) El Capítulo 3 investiga los movimientos rígidos del espacio, en términos de los cuales la congruencia de curvas y superficies se define de la misma manera que la congruencia de triángulos en el plano. El capítulo 4 requiere un comentario especial. Una debilidad de la geometría diferencial clásica es la falta de una definición adecuada de superficie.

En este capítulo decidimos exactamente qué es una superficie y mostramos que cada superficie tiene un cálculo diferencial e integral propio, estrictamente análogo al cálculo familiar del plano. Esta exposición proporciona una introducción a la noción de variedad diferenciable, que es la base de aquellas ramas de las matemáticas y sus aplicaciones que se basan en el cálculo. Los siguientes dos capítulos están dedicados a la geometría de superficies en 3 espacios. El capítulo 5 mide la forma de una superficie y deriva invariantes geométricos básicos, en particular la curvatura gaussiana. Los aspectos intuitivos y computacionales se enfatizan para dar significado geométrico a la teoría en el Capítulo 6. En los últimos dos capítulos, aunque nuestros métodos no han cambiado, hay un cambio radical de punto de vista.

En términos generales, estudiamos la geometría de una superficie tal como la ven sus habitantes, sin suponer que la superficie se pueda encontrar en un espacio tridimensional ordinario. El capítulo 7 está dominado por la curvatura y culmina en el teorema de Gauss-Bonnet y sus consecuencias geométricas y topológicas. En particular, usamos el teorema de Gauss-Bonnet para demostrar el teorema de Poincaré-Hopf, que relaciona las singularidades de un campo vectorial en M con la topología de M. El Capítulo 8 estudia las propiedades locales y globales de las geodésicas. El pleno desarrollo de las propiedades globales requiere la noción de superficie de cobertura. Con él, podemos dar un panorama completo de las superficies de curvatura gaussiana constante y demostrar los teoremas de Bonnet y Hadamard sobre curvatura positiva y no negativa, respectivamente. Ninguna rama de las matemáticas apela más directamente a la intuición que la geometría.

He tratado de enfatizar esto mediante un gran número de ilustraciones que forman parte integral del texto. Cada capítulo del libro está dividido en secciones, y en cada sección una sola secuencia de números designa colectivamente los teoremas, lemas, ejemplos, etc. Cada sección termina con un conjunto de ejercicios; estos van desde controles de rutina de comprensión hasta problemas moderadamente desafiantes. En esta revisión, la estructura del texto, incluida la numeración de su contenido, sigue siendo la misma, pero hay muchos cambios en torno a este marco. Los más significativos son, en primer lugar, la corrección de todos los errores conocidos; segundo, una mejor manera de hacer referencia a los ejercicios (la referencia más común); tercero, mejora general de los ejercicios.

Estas mejoras incluyen la eliminación de algunos ejercicios excesivamente difíciles, la simplificación de otros y respuestas más completas a los impares. En la enseñanza de versiones anteriores de este libro, por lo general he cubierto el material de fondo en el Capítulo 1 con bastante rapidez y no dediqué ningún tiempo de clase al Capítulo 3. Un curso breve sobre la geometría de curvas y superficies en el espacio tridimensional podría consistir en el Capítulo 2 (omitir la Sec. 8), el Capítulo 4 (omitir la Sec. 8), el Capítulo 5, el Capítulo 6 (que cubre ligeramente las Secciones 6–9) y un salto a la Sección 6 del Capítulo 7: el teorema de Gauss-Bonnet. Este es esencialmente el contenido de un curso de pregrado tradicional en geometría diferencial, con clarificación de las nociones de superficie y mapeo.