Espacios Lp – René Erlín Castillo – 1ra Edición

El presente texto no pretende ser un tratado en espacios Lp (0 < p ? ?), lo cual sería una utopía, el objetivo del mismo es estudiar (en la medida de lo posible) de manera exhaustiva los espacios Lp, dado que de alguna manera podemos ver el espacio Lp como el padre de todos los espacios de funciones integrables, por ejemplo, los espacios de Sobolev se definen vía los espacios Lp. A propósito de esto, en la literatura podemos encontrar tratados, manuales y textos dedicados al estudio de los espacios de Sobolev, en los cuales se destina un capítulo para estudiar aspectos generales de los espacios Lp. En mi opinión, esto es estudiar el fruto sin importar la tierra de donde proviene. Basado en esta opinión, decidí preparar un texto dedicado sólo al estudio de los espacios Lp, el cual luce, sino único, como uno de los pocos en su género, tanto en lengua castellana como inglesa. Esta afirmación surge después de una exhaustiva búsqueda en todas las fuentes disponibles para el autor. En matemáticas los espacios Lp son espacios de funciones que se definen usualmente usando una generalización natural de la norma p para espacios vectoriales de dimensión finita, éstos suelen llamarse de Lebesgue en honor a Henri Lebesgue (Dunford Schwartz 1958 III.3), sin embargo según Bourbaki (1987) los espacios Lp fueron introducidos por Riesz (1910). Los espacios Lp forman una clase importante de espacios de Banach, los cuales se estudian en análisis funcional y en espacios vectoriales topológicos. Además, estos espacios tienen aplicaciones en física, probabilidad y estadística, finanzas e ingeniería, así como en otras disciplinas. Otra manera de ver la importancia de los espacios Lp es mirarlos como una generalización parcial de los espacios L2, este último tiene un origen independiente basado en hechos básicos de análisis de Fourier. Cronológicamente, los espacios L1 representan el espacio de todas las funciones Lebesgue integrables, además L1 está conectado vía dualidad al espacio de las funciones esencialmente acotadas L?. Quiero destacar que la multiplicación de dos funciones Lebesgue integrables no necesariamente es Lebesgue integrable; sin embargo, si tomamos dos funciones una p-integrable y otra q-integrable, la desigualdad de H¨older nos garantiza que el producto de estas funciones resulta Lebesgue integrable. En el primer semestre de 2012, el departamento de matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia me dió la oportunidad de dictar el curso tópicos avanzados en análisis, oportunidad propicia e ideal para desarrollar el presente texto. Es oportuno aclarar que el contenido de este texto no es original del autor, éste está basado en diversos tratados, textos y artículos diseminados en la literatura. Sin embargo, en el texto se incluyen demostraciones de resultados clásicos de manera novedosa, así como resultados no populares tal como el espectro del operador de Hardy, amén de un número de ejercicios que aportarán una luz en el fascinante mundo de la investigación en el campo de las desigualdades matemáticas. En la bibliografía se citan algunos de los textos en los cuales el autor se basó para organizar el presente trabajo. Este texto está dirigido a estudiantes que hayan cursado teoría de la medida e integración de Lebesgue, análisis funcional y análisis complejo, así como a los profesionales que requieren de estas herramientas para el desarrollo de sus trabajos de investigación. El lector pudiera extra˜nar una sección donde se incluyan resultados como el principio de acotación uniforme (Banach-Steinhauss), Teorema de HanhBanach (versión norma), Teorema de Egoroff, Teorema de Fubini, etc. A juicio del autor, incluir estos resultados como una sección o apéndice sería engrosar de manera innecesaria el presente texto, en tal sentido es suficiente consultar los textos clásicos en el tema tales como Real Analysis por H.L. Royden [11] y Real Analysis, Modern Tecniques and Their Applications por Gerald Folland [5] para comprender todo el material expuesto en el presente texto. Sin embargo, incluimos al final del texto un apéndice dividido en secciones A, B y C donde se incluyen algunos resultados no populares pero relevantes, los cuales se utilizan en algunas demostraciones. Este texto está dividido en capítulos y a su vez cada capítulo está subdividido en secciones. La mayoría de los capítulos finaliza con una sección de ejercicios. El objetivo de esta sección es que el lector, a través de la resolución de los mismos, pueda comprobar el grado de dominio alcanzado de las ideas y técnicas presentadas en cada capítulo. Por supuesto, cada sección de ejercicios contiene problemas de diferentes grados de complejidad, existen algunos de rutina y otros que pueden verse como un reto. Todas las críticas constructivas que redunden en beneficio de este trabajo, serán bienvenidas. Cualquier error de transcripción o de cálculo es absoluta responsabilidad del autor.