Descripción

Este libro es la continuación de la obra [16], y como aquella, es resultado de cursos impartidos a lo largo de varios años, a estudiantes de las licenciaturas de Matemáticas y Física, tanto en la Facultad de Ciencias de la UNAM, como en la Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa. Esta parte puede emplearse para un segundo curso de Geometría Diferencial impartido a lo largo de un periodo semestral o bien de uno trimestral.

En el capítulo 1 se introduce el concepto de superficie abstracta diferenciable, su parametrización y los objetos geométricos asociados a ésta al proveerla de una métrica. Se introduce el concepto de espacio tangente a una superficie diferenciable y el concepto de orientación. Además, se definen los conceptos de métricas riemannianas y semiriemannianas (de Minkowski) y en particular se estudian los modelos de superficies con curvatura constante, que son los modelos básicos de las geometrías euclidiana, esférica e hiperbólica. En el capítulo 2 se estudia la geometría intrínseca de una superficie diferenciable, desarrollando para ello los conceptos de derivada covariante de un campo vectorial, la curvatura geodésica y el transporte paralelo de un campo vectorial. Se estudian además las curvas geodésicas en una superficie como la generalización de las rectas en el plano.

Se obtienen resultados geométricos como el Lema de Liouville y el Teorema de Clairaut. En el capítulo 3 se estudian las propiedades locales y globales de una superficie, utilizando los conceptos de aplicación exponencial, las coordenadas normales y polares, así como los círculos y rayos geodésicos. Además se demuestra el teorema de completez de Hopf-Rinow como un primer resultado global en una superficie completa. En el capítulo 4 se estudian los grupos de isometrías de las superficies con curvatura constante. Finalmente, en el capítulo 5 se demuestra el Teorema de GaussBonnet, estudiando para ello las propiedades topológicas de una superficie, su triangulación y su característica de Euler-Poincaré, así como la clasificación de superficies cerradas y el índice de un campo vectorial. Este teorema muestra la relación que hay entre las propiedades dinámicas (geodésicas) y geométricas (curvatura) de una superficie con sus propiedades topológicas (característica de Euler) y es, sin duda, uno de los resultados principales de la Geometría Diferencial.

Al final de la obra se incluyen dos apéndices con algunos elementos de la teoría de funciones analíticas, la topología y la teoría de espacios métricos necesarios para la lectura de este libro. La notación utilizada en esta obra es la misma que se utilizó en la primera parte. Nuevamente, al discutir algún ejemplo, el proceso se concluye con el símbolo ?, mientras que cada demostración termina con La primera versión de esta obra fue realizada mientras el primer autor disfrutó de una estancia sabática en la Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa. Agradecemos el apoyo del Dr. Carlos Signoret, jefe del Departamento de Matemáticas, para la realización de este proyecto.

Igualmente, agradecemos al Comité Editorial y la Coordinación de Servicios Editoriales de la Facultad de Ciencias de la UNAM, por el apoyo brindado para la publicación de la obra. Por último, agradecemos también a Daniel Espinosa, Guillermo Ruiz y Víctor Cruz Barriguete su apoyo técnico.