Circunferencia que pasa por 3 puntos dados

Supongamos que la circunferencia a describir pasa por los puntos $$0,0$$, $$3,1$$ y $$5,7$$.

Sustituimos para cada uno $x$ e $y$ en la ecuación general de la circunferencia:
$$$0,0$ Rightarrow 0^2+0^2+A cdot 0 + B cdot 0 + C = 0 \ $3,1$ Rightarrow 3^2+1^2+A cdot 3+B cdot 1+C=0 \ $5,7$ Rightarrow 5^2+7^2+A cdot 5 + B cdot 7 +C =0$$
Debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones para incógnitas $A$, $B$ y $C$:
$$ left {{begin{array}{r} C=0 \ 9+1+A cdot 3+B cdot 1+C=0 \ 25+49+A cdot 5 + B cdot 7 +C=0 end{array}}right.$$

Primero sustituimos la $C$ en las demás ecuaciones puesto que ya es conocida, $es cero$ y realizamos las operaciones entre los términos independientes.
$$ left{{begin{array}{r}10+3A+B=0 \ 74+5A+7B=0 end{array} }right.$$

Aislamos por ejemplo $B$ de la primer ecuación:
$$B-10-3A$$
y la ponemos en la segunda ecuación de donde podremos aislar y obtener $A$:
$$displaystyle begin{array}{r}74+5A+7$-10-3A$=0 \ 74+5A-70-21A=0 \ 16A=4 \ A= frac{4}{16}=frac{1}{4}end{array}$$

Entonces sustituimos el valor de $A$ obtenido en la expresión
$$B=-10-3A$$
y obtendremos que
$$displaystyle B=-frac{43}{4}$$

Así pues ya conocemos cada uno de los parámetros que nos determinan la circunferencia, por lo tanto podemos escribir la ecuación: $$displaystyle x^2+y^2+frac{1}{4}x-frac{4}{43}=0$$