Ecuación reducida de la hipérbola horizontal

Se tratará la ecuación reducida de la hipérbola . Este conjunto está formado por las hipérbolas cuyos ejes de simetría corresponden con los ejes coordenados, y que por lo tanto también ven coincidir su centro con el origen coordenado.

En primer término se tratarán las hipérbolas reducidas horizontales, que son aquellas en que el eje de abscisas corresponde con el eje focal. Los focos estarán entonces en los puntos $F’$-c,0$$ y $F$c,0$$.

Aplicando estos focos en la definición general de la hipérbola $$overline{PF}-overline{PF’}=2a$$ se obtiene la expresión $$displaystyle sqrt{$x+c$^2+y^2}-sqrt{$x-c$^2+y^2}=2a$$

Al sumar la raíz, y elevando al cuadrado:
$$begin{array}{rcl} Big$sqrt{$x+c$^2+y^2}Big$^2 & = & Big$2a+sqrt{$x-c$^2+y^2}Big$^2 \ $x+c$^2+y^2 & = & 4a^2+4asqrt{$x-c$^2+y^2}+$x-c$^2+y^2 \ x^2+2xc+c^2+y^2 & = & 4a^2+4a sqrt{$x-c$^2+y^2}+x^2-2xc+c^2+y^2 end{array}$$

Simplificando y dividiendo por cuatro:
$$begin{array}{rcl} 4xc & = & 4a^2+4a sqrt{$x-c$^2+y^2} \ xc & = & a^2+a sqrt{$x-c$^2+y^2} end{array} $$

Al despejar la raíz y elevar nuevamente al cuadrado:
$$displaystyle begin{array}{rcl} $cx-a^2$^2 & = & $asqrt{$x-c$^2+y^2}$^2 \ c^2x^2-2a^2cx+a^4& = & a^2$$x-c$^2+y^2$ \ c^2x^2-2a^2cx+a^4 & = & a^2$x^2-2cx+c^2+y^2$ \ c^2x^2-2a^2cx+a^4 & = & a^2x^2-2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2$ \ c^2x^2-a^2x^2-a^2y^2& = & a^2c^2-a^4 \ $c^2-a^2$x^2-a^2y^2 & = & a^2$c^2-a^2$end{array}$$

Se divide entonces por $a^2$c^2-a^2$$ para obtener un $1$ a la derecha:
$$displaystyle begin{array}{rcl} frac{$c^2-a^2$x^2}{a^2$c^2-a^2$}-frac{a^2y^2}{a^2$c^2-a^2$} & = & 1 \ frac{x^2}{a^2} – frac{y^2}{$c^2-a^2$}& = & 1 end{array}$$

Aplicando la definición $c^2=a^2+b^2$, $b^2=c^2-a^2$ se substituye y se llega a la ecuación deseada:
$$displaystyle frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1$$

A continuación se realizará un ejemplo en el que se muestra el desarrollo con un ejemplo práctico:

Ejemplo