Surge de aislar $k$ en las ecuaciones paramétricas e igualar:
$$left .begin{array} {rcl} x & = & p_1+kcdot v_1 \ y & = & p_2+k cdot v_2 end{array}right }$$
$$displaystyle frac{x-p_1}{v_1} \ k=frac{y-p_2}{v_2} \ frac{x-p_1}{v_1}=frac{y-p_2}{v_2}$$
Ejemplo
Encontrad la ecuación continua de la recta $r$ que pasa por los puntos $$3, 4$$ y $$-2, 6$$.
La ecuación vectorial con $A=$3,4$$ y $B=$-2,6$$ es:
$$$x, y$ = A + k cdot overrightarrow {AB} = $3, 4$ + k cdot $-5, 2$$$
Por tanto las ecuaciones paramétricas de la recta son:
$$left. begin{array}{rcl} x=3-5 cdot k \ y=4+2 cdot k end{array} right}$$
Aislamos $k$:
$$displaystyle begin{array}{rcl} k&=&frac{x-3}{-5} \ k &=& frac{y-4}{2}end{array}$$
e igualamos obteniendo así la ecuación continua de la recta $r$:
$$displaystyle frac{x-3}{-5}=frac{y-4}{2}$$
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