Giros

Un giro en el plano de centro $O$ y ángulo $\alpha$ es un movimiento directo que a un punto $P$ le hace corresponder otro punto $P’$ de forma que:

$$ \overline{PO}=\overline{P’O’} \quad \text{ y } \quad \widehat{POP’}=\alpha$$

A la función giro se la representa por $g$O, \alpha$$. Al ángulo $\alpha$ se le conoce también por el nombre de argumento. Como el giro es una transformación directa e isométrica, podemos asociarle un sistema bidimensional de ecuaciones:

$$ \begin{pmatrix} x’_1 \\ x’_2 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \cos$\alpha$ & -\sin$\alpha$
\\ \sin$\alpha$ & \cos$\alpha$ \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} $$

dónde la matriz:

$A=\begin{pmatrix} \cos$\alpha$ & -\sin$\alpha$ \\ \sin$\alpha$ & \cos$\alpha$ \end{pmatrix}$

es la matriz de giro y nos dice como se desplazan los elementos del plano mediante la transformación. Nótese, además, que gracias al hecho de que la matriz de giro del sistema está compuesta por senos y cosenos, la transformación giro es periódica de razón $360^\circ$.

Como ya hemos dicho anteriormente, el giro es una transformación directa e isométrica, dado que su determinante es $1$, lo cual nos dice que cumple la siguiente igualdad:

$$d $P, Q$ = d $g $P$, g $Q$$ = d $P ‘, Q’$$$

siendo $g$ la función giro con un ángulo $\alpha$ arbitrario.

Finalmente, obsérvese que la inversa del giro es un mismo giro pero con el ángulo de giro opuesto, es decir, que su argumento es $-\alpha$.

Para finalizar, explicaremos como se procede a la hora de calcular la transformada de los tres objetos más elementales que hay en el plano, como ya hemos hecho en el caso de las traslaciones.

• Giro de segmentos:Para calcular el giro de un segmento, basta con calcular los transformados de los extremos y unirlos para obtener el segmento transformado.
• Giro de rectas: Basta con calcular el transformado de dos puntos de la recta y unirlos para obtener la transformación de la recta.
• Giro de ángulos: Como un ángulo viene dado por la intersección de dos lados, basta con aplicar el giro a cada uno de sus lados para obtener el ángulo transformado.

Ejemplo