Si alguna vez has visto la pantalla de un osciloscopio, un monitor cardíaco o simplemente las olas del mar, ya has visto las funciones seno y coseno en acción. En artículos anteriores las definimos en la circunferencia unitaria; ahora vamos a “desenrollar” esa circunferencia sobre el eje $x$ para leer la onda como una función. La idea de este tema es súper práctica: aprenderás a controlar la forma de la gráfica estirándola o comprimiéndola, dominando dos conceptos clave: la amplitud (qué tan alta es la onda) y el periodo (cada cuánto se repite).
Gráfica de la función seno
La función Seno ($y = \text{sen }x$) se define geométricamente como la proyección vertical (ordenada) de un punto en la circunferencia unitaria. Imagina un punto $P$ girando en sentido antihorario:
- En 0 radianes: La altura vertical es 0. La gráfica comienza en el origen $(0,0)$.
- De 0 a $\frac{\pi}{2}$ (I Cuadrante): La altura crece hasta su máximo valor, 1. La gráfica sube.
- De $\frac{\pi}{2}$ a $\pi$ (II Cuadrante): La altura disminuye de nuevo a 0. La gráfica baja.
- De $\pi$ a $3\pi/2$ (III Cuadrante): La altura se vuelve negativa hasta -1. La gráfica desciende al mínimo.
- De $3\frac{\pi}{2}$ a $2\pi$ (IV Cuadrante): La altura sube desde -1 hasta 0, completando el ciclo.
La gráfica del seno es simétrica respecto al origen. Esto confirma geométricamente que es una función impar: $$ \text{sen}(-x) = – \text{sen}(x) $$
Gráfica de la función coseno
La función Coseno ($y = \cos x$) representa la proyección horizontal (abscisa) del mismo punto $P$. Al graficarla, el valor horizontal en el círculo se convierte en la altura $y$ en la gráfica de la función:
- En 0 radianes: La distancia horizontal es máxima (el radio completo). La gráfica comienza en $(0,1)$.
- En $\frac{\pi}{2}$: La distancia horizontal es $0$. La gráfica cruza el eje $X$.
- En $\pi$: La distancia horizontal es máxima pero hacia la izquierda (-1). La gráfica llega a su mínimo.
La gráfica del coseno es simétrica respecto al eje Y. Esto confirma que es una función par:
$$ \cos(-x) = \cos(x) $$
Análisis comparativo de las gráficas
Al superponer las gráficas de seno y coseno, descubrimos un hecho fascinante: geométricamente son idénticas en forma y tamaño. La única diferencia real entre ellas es “cuándo” comienzan. En este análisis, vamos a desglosar el desfase horizontal y la simetría, demostrando por qué el coseno no es más que un seno que se ha “adelantado” en la carrera circular.
Observa las gráficas simultáneas a continuación. Nota que la curva del coseno (verde) es idéntica a la del seno (rojo), solo que está desplazada hacia la izquierda $\frac{\pi}{2}$ unidades. Esto visualiza la identidad de co-función:
$$\cos(x)=\text{sen}(x+\frac{\pi}{2})$$
La relación más importante entre ambas curvas es el desplazamiento horizontal. Si tomas la gráfica del seno y la empujas hacia la izquierda $\frac{\pi}{2}$ unidades, encajará perfectamente sobre la gráfica del coseno.
Identidad de cofunción:
Matemáticamente, este desplazamiento se expresa como:
$$\cos(x)=\text{sen}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$
Esto significa que el valor del coseno en cualquier instante es igual al valor que tendrá el seno $\frac{\pi}{2}$ radianes después.
Propiedades trigonométricas fundamentales
Al analizar estas gráficas desde una perspectiva estrictamente matemática, se cumplen estas propiedades (sin importar cuántas veces repitas la onda):
- Dominio: ambas funciones aceptan cualquier número real: $(-\infty,\infty)$.
- Rango: ambas están acotadas entre $-1$ y $1$: $[-1,1]$.
- Periodo fundamental: $2\pi$. Cada vuelta completa a la circunferencia unitaria repite el patrón exacto.
- Crecimiento (idea por cuadrantes):
- Seno: crece en I y IV; decrece en II y III.
- Coseno: decrece en I y II; crece en III y IV.
5. Visto desde la circunferencia unitaria:
El seno rastrea la coordenada $y$. Empieza en $0$ porque el punto inicial es $(1,0)$ y la altura es nula.|El coseno rastrea la coordenada $x$. Empieza en $1$ porque en el inicio $(1,0)$, la distancia horizontal es máxima.
6. Relación Pitagórica
A pesar de sus diferencias, están unidas por la identidad más famosa de la trigonometría, derivada del Teorema de Pitágoras en la circunferencia unitaria de radio 1 ($x^2 + y^2 = 1$):
$$ \text{sen}^2(x) + \cos^2(x) = 1 $$
Esta ecuación significa que, para cualquier ángulo, si elevas al cuadrado el valor del seno y le sumas el cuadrado del coseno, el resultado siempre será 1.
7. Simetría: pares vs. impares
Otra diferencia que cambia completamente cómo se comportan en ecuaciones y gráficas es la simetría.
Coseno (función par): es simétrica respecto al eje $y$
$$\cos(-x)=\cos(x)$$
Seno (función impar): es simétrica respecto al origen $(0, 0)$
$$\text{sen}(-x)=-\text{sen}(x)$$
En el siguiente artículo, estudiaremos las gráficas de las funciones tangente y cotangente, que se comportan distinto porque aparecen asíntotas verticales.
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