Funciones trigonométricas en el plano cartesiano

Sistema de coordenadas en el plano

El plano cartesiano consta de dos rectas dirigidas, perpendiculares entre sí llamadas ejes de coordenadas. La recta horizontal recibe el nombre de «$\text{eje }x$» y la recta vertical se le llama «$\text{eje }y$»; el punto donde se intersectan ambas rectas es el origen del sistema.

Cada punto en el plano se describe por un par ordenado $x, y$, donde «$x$» representa la coordenada horizontal $\text{eje }x$, mientras que «$y$» la coordenada vertical $\text{eje }y$.

En la figura, vemos como los ejes de coordenadas dividen al plano en regiones llamadas cuadrantes. Todo punto $P$ del plano puede localizarse por medio del sistema rectangular; se traza $\overline{PA}$ perpendicular al $\text{eje }x$ y $\overline{PB}$ perpendicular al $\text{eje }y$, la longitud del segmento dirigido $\overline{OA}$ se representa por $x$ y se llama abscisa de P, la longitud del segmento dirigido $\overline{OB}$ se representa por $y$ y se llama ordenada de P. Luego, el punto generado por los números reales $x$ y $y$ se llaman coordenadas de P y se representan como $P(x, y)$.

Una referencia para aprender los signos en el plano son las abscisas y las ordenadas, las abscisas medidas sobre el $\text{eje } x$ a la derecha del origen son positivas y a la izquierda del origen son negativas, mientras que las ordenadas que se miden sobre el $\text{eje } y$ son positivas hacia arriba y negativas hacia abajo con respecto al origen.

En el plano cartesiano, una función trigonométrica relaciona un número real $x$ (que representa la medida de un ángulo en radianes) con un valor real $y$. Una característica exclusiva de estas funciones es que son periódicas: sus valores se repiten en intervalos regulares.

Una función $f$ se dice periódica si existe un número real positivo $p$ tal que $f(x + p) = f(x)$ para todo $x$ en el dominio de $f$. El menor valor positivo de $p$ se llama periodo de la función.

Esto significa que, visualmente, la gráfica es un patrón que se «copia y pega» infinitamente a lo largo del eje X.

Ángulo de referencia

Para simplificar el análisis y cálculo de funciones trigonométricas en ángulos fuera del primer cuadrante del plano cartesiano, utilizamos el «ángulo de referencia». Este es el ángulo agudo formado entre el eje $x$ positivo y la línea que conecta el punto dado en el plano con el origen $0,0$.

Sea $ \theta$ un ángulo en posición estándar tal que su lado terminal no se sitúa sobre un eje de coordenadas. El ángulo de referencia $ \color{#00F}{\theta’}$ para $ \theta$ se define como el ángulo agudo formado por el lado terminal de $ \theta$ y el eje $x$.

La noción del ángulo de referencia es útil para asegurarse de que las funciones trigonométricas tomen el valor correcto en relación con el ángulo original y la ubicación del punto en el plano cartesiano. La siguiente figura ilustra esta definición para los ángulos que tienen lados terminales en cada uno de los cuatro cuadrantes.

Signos de las funciones trigonométricas

Los signos de las funciones trigonométricas $ \sin t $ y $ \cos t $ están determinados por el cuadrante en el que se encuentra el punto $ P(t) $ sobre el círculo unitario. De manera recíproca, si se conocen los signos de $ \sin t $ y $ \cos t $, es posible identificar el cuadrante donde se ubica el ángulo $ t $ (medido en radianes). Por ejemplo, si se cumple que:

$$\text{sen }t \lt 0 \quad \text{ y } \quad \cos t \lt 0 $$

Entonces tanto la coordenada vertical como la horizontal del punto $ P(t) $ son negativas. Esto implica que el lado terminal del ángulo $ t $ debe estar situado en el tercer cuadrante (Cuadrante III) del plano cartesiano.

En general, los signos de las funciones trigonométricas básicas en cada cuadrante son los siguientes: