Si el seno y el coseno son ondas suaves y continuas que oscilan eternamente, la tangente y la cotangente son las “rebeldes” de la trigonometría. Sus gráficas no son ondas; son curvas que se rompen y disparan hacia el infinito. En este artículo, dejaremos de verlas solo como divisiones algebraicas ($\frac{y}{x}$ o $\frac{x}{y}$) y las analizaremos como líneas geométricas en la circunferencia unitaria. Descubrirás por qué estas funciones tienen “muros invisibles” (asíntotas) que jamás pueden cruzar y por qué su ritmo de repetición es más rápido que el de sus primas senoidales.
Construcción geométrica: las líneas tangentes
Para entender la gráfica, primero debemos visualizar qué estamos midiendo. A diferencia del seno y coseno que viven dentro del círculo, estas funciones se proyectan fuera de él sobre rectas tangentes a la circunferencia.
Línea tangente: se dibuja una recta vertical tangente a la circunferencia en el origen de arcos $A(1,0)$. Al prolongar el radio que forma el ángulo, este cortará a dicha recta. La distancia desde el eje $x$ hasta ese corte es el valor de la tangente.
Línea cotangente: se dibuja una recta horizontal tangente a la circunferencia en el origen de complementos $B(0,1)$. La prolongación del radio cortará a esta recta. La distancia desde el eje $y$ hasta ese corte es el valor de la cotangente.
La gráfica de la tangente ($y= an x$)
Imagina que el ángulo aumenta progresivamente:
- En $0$: la línea tangente tiene altura $0$. La gráfica pasa por el origen.
- Hacia $\frac{\pi}{2}$: el radio se va poniendo vertical. Su prolongación tiene que viajar cada vez más lejos para cortar la recta tangente.
- En $\frac{\pi}{2}$: el radio es perfectamente vertical y queda paralelo a la recta tangente. ¡Nunca se cortan! Aquí aparece la asíntota vertical.
Ese “nunca se cortan” también se puede leer como “división por cero”: $\tan x=\frac{\text{sen }x}{\cos x}$ y cuando $\cos x=0$ (en $x=\frac{\pi}{2}+n\pi$), la tangente se vuelve indefinida.
La gráfica de la cotangente ($y=cot x$)
La cotangente funciona “al revés” en cuanto a ceros y asíntotas:
- En $0$: $\text{sen}(0)=0$, así que $\cot x=\frac{\cos x}{\text{sen }x}$ se vuelve indefinida. Por eso hay una asíntota en $x=0$.
- En $\frac{\pi}{2}$: $\cos(\frac{\pi}{2})=0$, entonces $\cot(\frac{\pi}{2})=0$ y la gráfica cruza el eje $x$.
- En $\pi$: vuelve a aparecer asíntota porque $\text{sen}(\pi)=0$.
Mientras que la tangente es creciente entre asíntotas, la cotangente es decreciente entre asíntotas.
Visualización comparativa
Observa las gráficas a continuación:
Tangente: pasa por $(0,0)$, sube y tiene muros en $x=\pm\frac{\pi}{2}$.
Cotangente: tiene un muro en $x=0$, baja cruzando $x=\frac{\pi}{2}$ y vuelve a tener muro en $x=\pi$.
Análisis de trigonometría analítica
Estas gráficas reflejan identidades trigonométricas clave:
Identidad recíproca: $$\cot x=\frac{1}{\tan x}$$ Donde $\tan x=0$ (en $x=n\pi$), la cotangente se indefine (asíntota). Donde la tangente tiene asíntota (en $x=\frac{\pi}{2}+n\pi$), la cotangente vale $0$.
Identidad de cofunción: $$\cot(x)=\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$ Esto explica por qué sus ceros y asíntotas quedan perfectamente intercalados.
En el próximo artículo, cerraremos el bloque de gráficas con las funciones secante y cosecante, que se construyen “sobre” las curvas del coseno y del seno respectivamente.
Déjanos un comentario No hay comentarios
Aún no hay comentarios
Sé el primero en compartir tu opinión sobre este contenido.
Escribir un comentario