Posición relativa de dos planos

Veamos ahora las posiciones relativas que pueden presentar dos planos, $\pi$P;\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$$ y $\pi$Q;\overrightarrow{u’}, \overrightarrow{v’}$$, ambos expresados mediante sus ecuaciones generales:
$$ \begin{array}{rrcl} \pi:&Ax+By+Cz+D &=&0\\ \pi’:&A’x+B’y+C’z+D’&=&0\end{array}$$

Para encontrar las posiciones relativas, consideremos el sistema formado por las dos ecuaciones, con su matriz $M$ y su matriz ampliada $M’$:
$$M=\begin{pmatrix} A & B & C \\ A’ & B’ & C’ \end{pmatrix}$$ $$M’=\begin{pmatrix}A & B & C & -D \\ A’ & B’ & C’ & -D’ \end{pmatrix}$$

Planos coincidentes

$$rango $M$ = rango $M’$ = 1$$

Equivale a:
$$\displaystyle \frac{A}{A’}=\frac{B}{B’}=\frac{C}{C’}=\frac{D}{D’}$$
Sistema compatible indeterminado.

La solución del sistema depende de dos parámetros. Los planos son coincidentes.

Ejemplo

Planos paralelos

$$rango$M$ = 1, rango $M’$ = 2$$

Equivale a:
$$\displaystyle \frac{A}{A’}=\frac{B}{B’}=\frac{C}{C’}\neq \frac{D}{D’}$$
Sistema incompatible.

El sistema no tiene solución. No hay puntos comunes. Los planos son paralelos.

Ejemplo

Planos secantes

$$rango$M$ = rango $M’$ = 2$$

Equivale a:
$$\displaystyle \frac{A}{A’} \neq \frac{B}{B’} \mbox{ o } \frac{A}{A’} \neq \frac{C}{C’} \mbox{ o } \frac{B}{B’} \neq \frac{C}{C’} $$
Sistema compatible indeterminado.

La solución del sistema depende de un parámetro. Los planos son secantes, es decir, se cortan en una recta.

Ejemplo