El lenguaje de la teoría axiomatizada del derecho es un lenguaje formalizado, definido por el vocabulario y por las reglas que se estipularán en los §§ 2, 3 y 4 de esta Introducción. Las reglas sobre las que se construye nuestro lenguaje no pertenecen a la teoría y no se formulan en el lenguaje teórico. Son más bien expresiones metateóricas que determinan la estructura sintáctica de la teoría, esto es, la sintaxis (o lógica) del lenguaje teórico. Se distinguen en dos clases: las reglas de formación y las reglas de transformación.
Conforme a estas reglas se formularán en este apéndice, en el orden en el que se han introducido y con la numeración progresiva adoptada en el texto, todas las tesis de la teoría: las tesis primitivas e indemostradas (postulados y definiciones), formadas conforme a las reglas de formación, y las tesis no primitivas y demostradas (teoremas), obtenidas conforme a las reglas de transformación. La demostración de las tesis no primitivas o teoremas consistirá en una sucesión finita de expresiones, dispuestas en líneas distintas y numeradas, a cuya derecha irá escrita la motivación, es decir, si se trata de una premisa (postulado, definición o teorema) o del resultado de la aplicación de una o más reglas a las líneas precedentes.
En este último caso se escribirán primero los números de la línea o las líneas en las que se encuentran las expresiones a las que son aplicadas las reglas y luego el número de la regla o las reglas utilizadas para realizar su transformación. En los casos en que la demostración sea especialmente sencilla, me limitaré a enunciar la tesis demostrada, escribiendo junto a ella sus premisas y las reglas de transformación aplicadas. Es claro que la relevancia teórica de cualquier tesis será mostrada por el número y la relevancia de las tesis que, directa o indirectamente, la supongan como premisa.
De cada una de las tesis de la teoría postulados, definiciones y teoremas se suministrará además en este apéndice, junto a la formulación en lenguaje simbólico, también la interpretación semántica en el lenguaje común, a veces más prolija pero también más analítica y precisa que la expresada en el contexto de la teoría. Naturalmente, ni siquiera tal interpretación, suministrada para cada una de las tesis antes de su enunciación y/o demostración, será siempre del todo precisa y rigurosa. Sobre todo, las traducciones de las tesis más complejas resultarán inevitablemente sumarias, no pudiendo siempre dar cuenta con exactitud de las muchas relaciones lógicas establecidas en ellas. Además, gran parte de las tesis demostradas parecerán triviales y repetitivas.
Pero esto no impide que casi todas sean indispensables tanto más indispensables cuanto más obvias y triviales, y por lo tanto sobreentendidas o descuidadas en los discursos corrientes a los fines de la construcción de la red de los conceptos y aserciones en la que se articula la teoría. En una teoría axiomatizada, en efecto, ninguna tesis, por intuitiva que sea, puede ser asumida como implícita o descontada, aunque no sea más que porque no todas las tesis intuitivas son verdaderas y no todas las tesis verdaderas son intuitivas. Bien puede ocurrir, mediante el cálculo, que una tesis intuitiva resulte indemostrable conforme a las premisas disponibles y se revele por tanto aproximativa o, peor, falsa; o bien, a la inversa, que resulte demostrable, y por tanto verdadera respecto de las premisas, una tesis nada intuitiva en absoluto.
En ambos casos, como en el caso de que se considere que se debe modificar o integrar las premisas, el cálculo indica una aporía o, en todo caso, un problema cuya solución equivale siempre a una clarificación teórica y, a veces, a un descubrimiento. Por lo demás, aunque este apéndice contenga toda la teoría, no está destinado a ser leído, sino sólo consultado. Su publicación tiene el objeto de mostrar la validez de las tesis demostradas respecto de sus premisas, la coherencia interna del conjunto de las tesis teóricas respecto de los postulados y las definiciones seleccionadas y, por tanto, la utilidad y la fecundidad del método adoptado.
En un primer nivel de análisis sirve para explicitar el sentido completo de las distintas tesis, a menudo expuestas en el texto del libro de manera elíptica y sintética, y para suministrar una especie de compendio en el orden en el que se han introducido y/o demostrado. En un segundo nivel de análisis, de mayor profundización, diseña la sintaxis de la teoría, señalando para los distintos teoremas, a través de las indicaciones de las premisas de las que se derivan y de las tesis a las que sirven de premisas, las concatenaciones lógicas, además del papel y la relevancia que revisten en el conjunto de la economía del discurso teórico.
En un tercer nivel, en fin, permite penetrar en la estructura de la construcción y del razonamiento teórico, exponiendo al control de validez las demostraciones de los 1.679 teoremas, orientando la crítica de las tesis no convincentes en relación con las premisas primitivas, es decir, de los 16 postulados y de las 274 definiciones, y promoviendo las modificaciones de éstas (como por lo demás he hecho yo mismo innumerables veces) dirigidas a aumentar su alcance empírico y su adecuación explicativa.
Es además evidente que toda modificación de una tesis primitiva repercute sobre todas las tesis a las que ella, directa o indirectamente, sirve de premisa; y comporta por ello la carga de modificar toda la cadena de las tesis directa o indirectamente derivadas de ella. Pero son precisamente estas modificaciones, además de la introducción de nuevos postulados y nuevas definiciones, las que, aumentando la complejidad y la capacidad explicativa de la teoría, determinan sus precisiones, sus correcciones, sus integraciones y su desarrollo.
El empleo del método axiomático, en dos palabras, hace posible la ampliación y el progreso científico de la teoría. La sintaxis de nuestro lenguaje teórico está definida por los tres siguientes elementos: 1) el vocabulario, que es el conjunto de los símbolos que lo componen; 2) las reglas de formación, conforme a las cuales los símbolos del vocabulario teórico pueden ser combinados en expresiones bien formadas, y 3) las reglas de transformación, que son el conjunto de los axiomas, las reglas y las leyes lógicas que permiten la derivación de expresiones verdaderas a partir de otras expresiones precedentemente aceptadas como verdaderas, bien porque han sido asumidas como postulados o como definiciones, bien porque a su vez han sido derivadas de modo análogo.