Descripción

El hecho de haber impartido la asignatura Cálculo de Varias Variables en múltiples ocasiones, a lo largo de muchos años de experiencia docente, nos ha permitido observar de cerca las complicaciones a las que normalmente se enfrentan los estudiantes, que van desde la dificultad de imaginar con claridad el espacio tridimensional, con su correspondiente representación gráfica en una hoja de cuaderno (considerado un espacio bidimensional), hasta la carencia de conocimientos básicos del cálculo de una variable.

Lo anterior ha sido fundamental para replantearnos la forma en que debe iniciarse y desarrollarse en forma óptima el curso de una asignatura de esta naturaleza, pero en especial para replantearnos la manera en que puede atraparse, cautivarse y mantenerse la atención de los estudiantes. En forma personal, creemos que el presente curso de Cálculo de Varias Variables es una invaluable oportunidad de enseñar a los estudiantes, al fin, las matemáticas en el espacio que nos rodea (de tres dimensiones), ya que este es el momento idóneo para pasar de la comprensión de un espacio plano a uno tridimensional o más dimensiones, para lo cual resulta indispensable el apoyo de la presente obra.

El libro Cálculo de varias variables tiene como objetivo ofrecer una comprensión clara de los tópicos del cálculo de varias variables, en forma simple y sintética, sin abandonar el tratamiento clásico (y en algunas ocasiones rigurosas) de los teoremas más importantes. Con base en esa premisa, al final de cada uno de los seis capítulos se incluye una sección de Problemas propuestos con diferentes grados de dificultad, con el propósito de que el lector los resuelva por sí mismo, basado en los conocimientos adquiridos a lo largo de cada capítulo, y cuya solución puede consultarse al final de la obra con la solución detallada de cada uno de los problemas propuestos. Lo anterior hace que este material sea de gran valor para todos aquellos estudiantes que necesitan aprender y dominar el cálculo multivariable. Este libro está dividido en seis capítulos, de tal forma que puede usarse para cubrir los planes de estudio de cursos semestrales, además de que también contiene material adicional para cursos posteriores.

En el capítulo 1 se ofrece una introducción a los vectores y al espacio de tres dimensiones, donde se describe con claridad la manera de impulsarse a la tercera dimensión geométrica. En el capítulo 2 se describen las funciones vectoriales como una alternativa para generar gráficos en dos y tres dimensiones. De igual forma, también se definen los vectores tangente y normal unitarios, así como el concepto de curvatura de una función vectorial. Lo anterior para describir de mejor forma el movimiento de un objeto a lo largo de trayectorias curvilíneas. El capítulo 3 aborda las funciones de varias variables, retomando los conceptos de dominio e imagen, vistos en el curso de Cálculo de Una Variable. De igual forma, en este se trata el concepto de límite para estas funciones, así como las derivadas parciales y direccionales.

En el capítulo 4 se trata la integración múltiple, haciendo una clara correspondencia entre la integral simple y su interpretación geométrica (área bajo una curva) y la integral doble con su correspondiente interpretación (volumen bajo una superficie). Asimismo, se presentan algunos tipos de sistemas de coordenadas y se muestra su utilidad en el cálculo de integrales dobles y triples. Por último, al final del capítulo se hace una clara referencia a las aplicaciones de las integrales múltiples en diferentes problemas de ingeniería.

El capítulo 5 muestra el concepto de campo vectorial y se inicia con el concepto de trabajo mecánico realizado por una fuerza constante en magnitud y dirección, para posteriormente determinar el trabajo realizado por un campo a lo largo de una trayectoria dada, mediante la definición de integral de línea. En el capítulo 6 se presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias, en el que se ofrece su definición y una clara clasificación de estas. Asimismo, también se tratan los métodos clásicos de solución para las ecuaciones de primer orden y se abordan las ecuaciones lineales de orden superior, es muy importante mencionar que en este capítulo solo se presentan los métodos de solución, dejando de lado un tratamiento formal, el cual puede ser abordado en un libro exclusivo de este tema. Es importante que el estudiante tome conciencia de la forma en la que debe abordar esta obra, pues sin duda es primordial tener papel y lápiz a la mano mientras se estudia el libro, ya que de esta manera los cálculos realizados en los problemas resueltos serán mejor entendidos si el lector los realiza al mismo tiempo. Esperamos que esta obra sea una novedosa oportunidad para aprender la materia con la ayuda de un gran número de problemas resueltos, si esto se consigue, nos sentiremos muy contentos de haber logrado este objetivo, no obstante, estaremos plenamente satisfechos cuando el lector en realidad haya disfrutado esta obra.