Cálculo Diferencial e Integral, Tomo I. – N. Piskunov – 3ra Edición

Capítulo I. NÚMERO. VARIABLE. FUNCIÓN

1. Números reales. Representación de números reales por los puntos del eje numérico
2. Valor absoluto de un número real
3. Magnitudes variables y constantes
4. Dominio de definición de una variable
5. Variable ordenada. Variables crecientes y decrecientes. Variable acotada
6. Función
7. Formas diversas de expresión de funciones
8. Funciones elementales principales. Funciones elementales
9. Funciones algebraicas

Capítulo II. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES

1. Límite de una variable. Variable infinitamente grande
2. Límite de una función
3. Función que tiende a infinito. Funciones acotadas
4. Infinitésimos y sus propiedades fundamentales
5. Teoremas fundamentales sobre límites
6. Límite de la función sen x /x cuando x = 0
7. El numero e
8. Logaritmos naturales
9. Continuidad de las funciones
10. Propiedades de las funciones continuas
11. Comparación de infinitésimos

Capítulo III. DERIVADA Y DIFERENCIAL

1. Velocidad del movimiento
2. Definición de la derivada
3. Interpretación geométrica de la derivada
4. Funciones derivables
5. Cálculo de la derivada de las funciones elementales. Derivada de la función y = X”, siendo n entero y positivo
6. Derivadas de las funciones y = sen x; y = cos x
7. Derivada de una constante, del producto de una constante por una función, de la suma del producto y cociente de dos funciones
8. Derivada de la función logarítmica
9. Derivada de una función compuesta
10. Derivadas de las funciones y = tg x, y = ctg x, y = In x
11. La función implícita y su derivada
12. Derivadas de la función potencial con exponente real cualquiera, de la función exponencial y de la función
exponencial compuesta
13. Función inversa y su derivación
14. Funciones trigonométricas y sus derivadas
15. Tabla de las principales fórmulas de derivación
16. Funciones dadas en forma paramétrica
17. Ecuaciones paramétricas de algunas curvas
18. Derivada de una función dada paramétricamente
19. Funciones hiperbólicas
20. Diferencial
21. Significado geométrico de la diferencial
22. Derivadas de diversos órdenes
23. Diferenciales de órdenes diversos
24. Derivadas de
diversos órdenes de las funciones implícitas y de las funciones definidas paramétricamente
25. Interpretación mecánica de la derivada segunda
26. Ecuaciones de la tangente y de la normal. Longitudes de la subtangente y de la subnormal
27. Significado geométrico de la derivada del radio vector respecto al ángulo polar

Capítulo IV. TEOREMAS SOBRE LAS FUNCIONES DERIVABLES

1. Teorema sobre las raíces de la derivada (teorema de Rolle)
2. Teorema de los incrementos finitos (teorema de Lagrange)
3. Teorema sobre el cociente de los incrementos de dos funciones (teorema de Cauchy)
4. Límite del cociente de dos infinitésimos (Cálculo del límite de indeterminaciones del tipo 0 /0)
5. Límite del cociente de dos magnitudes infinitamente grandes (Cálculo del límite de indeterminaciones de la forma Infinito/Infinito)
6. Fórmulas de Taylor
7. Desarrollo de las funciones ex sen x y cos x mediante la fórmula de Taylor

Capítulo V. ANÁLISIS DE LA VARIACIÓN DE LAS FUNCIONES

1. Generalidades
2. Crecimiento y decrecimiento de una función
3. Máximo y mínimo de las funciones
4. Análisis del máximo y mínimo de una función derivable mediante la primera derivada
5. Análisis del máximo y mínimo de una función mediante la segunda derivada
6. Valores máximo y mínimo de una función en un intervalo
7. Aplicaciones a la teoría de máximos y mínimos de las funciones
8. Análisis de los valores máximos y mínimos de una función mediante la fórmula de Taylor
9. Convexidad y concavidad de las curvas. Puntos de inflexión
10. Asíntotas
11. Esquema general del análisis de funciones y de la construcción de gráficas
12. Estudio de las curvas dadas en forma paramétrica

Capítulo VI. CURVATURA DE UNA CURVA

1. Longitud del arco y su derivada
2. Curvatura
3. Cálculo de la curvatura
4. Cálculo de la curvatura de una curva dada en forma paramétrica
5. Cálculo de la curvatura de una curva dada en coordenadas polares
6. Radio y círculo de curvatura. Centro de curvatura. Evoluta y evolvente
7. Propiedades de la evoluta
8. Cálculo aproximado de las raíces reales de una ecuación

Capítulo VII. NÚMEROS COMPLEJOS. POLINOMIOS

1. Números complejos. Generalidades
2. Operaciones fundamentales con números complejos
3. Elevación a una potencia y extracción de la raíz de un número complejo
4. Función exponencial de exponente complejo y sus propiedades
5. Fórmula de Euler. Forma exponencial de un número complejo
6. Descomposición de un polinomio en factores
7. Raíces múltiples de un polinomio
8. Descomposición en factores de un polinomio con raíces complejas
9. Interpolación. Fórmula de interpolación de Lagrange
10. Fórmula de interpolación de Newton
11. Derivación numérica
12. Aproximación de las funciones mediante polinomios. Teoría de Chébishev

Capítulo VIII. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

1. Definición de las funciones de varias variables
2. Representación geométrica de una función de dos variables
3. Incremento parcial y total de la función
4. Continuidad de las funciones de varias variables
5. Derivadas parciales de la función de varias variables
6. Interpretación geométrica de las derivadas parciales de una función de dos variables
7. Incremento total y diferencial total
8. Aplicación de la diferencial total a cálculos aproximados
9. Aplicación de la diferencial a la evaluación del error en cálculos numéricos
10. Derivada de una función compuesta. Derivada total
11. Derivación de funciones implícitas
12. Derivadas parciales de órdenes superiores
13. Superficies y líneas de nivel
14. Derivadas según una dirección
15. Gradiente
16. Fórmula de Tavlor correspondiente a una función de dos variables
17. Máximos y mínimos de una función de varias variables
18. Máximos y mínimos de una función de varias variables relacicionadas mediante ecuaciones dadas (máximos y mínimos ligados)
19. Ajuste de una función a unos datos experimentales por el método de mínimos cuadrados

Capítulo IX. APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL A LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO

1. Ecuaciones de una curva en el espacio
2. Límite y derivada de una función vectorial de una variable independiente escalar. Ecuación de la tangente a una curva. Ecuación del plano normal
3. Reglas de derivación de los vectores (funciones vectoriales)
4. Derivadas primera y segunda de un vector respecto a la longitud del arco. Curvatura de la curva. Norma principal.
Velocidad y aceleración de un punto animado de un movimiento curvilíneo
5. Plano osculador. Binormal. Torsión
6. Plano tangente y normal a una superficie

Capítulo X. INTEGRAL INDEFINIDA

1. Función primitiva e integral indefinida
2. Tabla de integrales
3. Propiedades de la integral indefinida
4. Integración por cambio de variable o por sustitución
5. Integración de ciertas funciones que contienen un trinomio de segundo grado
6. Integración por partes
7. Funciones racionales. Fracciones racionales elementales y su integración
8. Descomposición de una fracción racional en fracciones simples
9. Integración de las fracciones racionales
10. Método de Ostrogradski
11. Integración de funciones irracionales
12. Integrales del tipo R (x, sqrt [ax{exp 2} + bx + c])dx
13. Integración de las integrales binomias
14. Integración de funciones trigonométricas
15. Integración de funciones irracionales mediante sustituciones trigonométricas
16. Funciones cuyas integrales no pueden expresarse mediante funciones elementales

Capítulo XI. INTEGRAL DEFINIDA

1. Planteamiento del problema. Sumas inferior y superior
2. Integral definida
3. Propiedades fundamentales de la integral definida
4. Cálculo de la integral definida. Fórmula de Newton-Leibniz
5. Cambio de variable en una integral definida
6. Integración por partes
7. Integrales impropias
8. Cálculo aproximado de las integrales definidas
9. Fórmula de Chébishev
10. Integrales dependientes de un parámetro
11. Integración de una función compleja de variable real

Capítulo XII. APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y MECÁNICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA

1. Cálculo de áreas en coordenadas rectangulares
2. Área de un sector curvilíneo en coordenadas polares
3. Longitud de un arco de curva
4. Cálculo del volumen de un cuerpo en función de las áreas de secciones paralelas
5. Volumen de un cuerpo de revolución
6. Área de un cuerpo de revolución
7. Cálculo del trabajo mediante la integral definida
8. Coordenadas del centro de gravedad
9. Cálculo de momentos de inercia mediante la integral definida