Cálculo Superior: Teoría y Ejemplos – Walter Mora, Geovanny Figueroa – 1ra Edición

1 Cónicas 1
1.1 Introducción. 1
1.2 Preliminares 2
1.3 Lugares geométricos 3
1.4 Parábola 7
1.5 Elipse 16
1.6 Hipérbola 27
1.7 (*) Ecuación de segundo grado 35

2 Derivadas parciales 39
2.1 Derivada Parcial. 39
2.2 Interpretación geométrica de la derivada parcial 44
2.3 Derivadas Parciales de Orden Superior 47
2.4 Incrementos y Diferenciales. Diferencial Total. 56
2.4.1 Introducción. 56
2.4.2 Incrementos y Diferenciales. 57
2.4.3 Funciones Diferenciables. 59
2.5 Regla de la Cadena. Derivación Implícita. 62
2.5.1 Regla de la Cadena 62
2.5.2 Derivación Implícita. 66
2.6 Ejercicios Resueltos (Adicionales) 73

3 Gradiente, derivadas direccionales y plano tangente 77
3.1 Vector Gradiente. 77
3.2 Derivada direccional 78
3.2.1 (*) Vector Unitario Tangente. 86
3.3 Plano Tangente. 92
3.3.1 Gradiente y Curvas y Superficies de Nivel. 92
3.3.2 Plano Tangente. 93

4 Funciones de varias variables, superficies y sólidos. 101
4.1 Coordenadas tridimensionales 101
4.2 Funciones de Dos Variables 103
4.3 Gráfica de una función de dos variables. 106
4.4 Planos y Rectas en el Espacio 107
4.5 Superficies Cilíndricas 112
4.6 Curvas sobre un Plano 116
4.7 Curvas de Nivel y Trazas 118
4.8 Superficies Cuadráticas 122
4.8.1 Elipsoide 123
4.8.2 Paraboloide elíptico. 123
4.8.3 Paraboloide hiperbólico 124
4.8.4 Cono elíptico 124
4.8.5 Hiperboloide de una hoja 125
4.8.6 Hiperboloide de dos hojas 125
4.9 Parametrización de una Curva en el Espacio. 127
4.10 Intersección de Superfices. 128

5 Sólidos 131

6 Máximos y mínimos locales. Multiplicadores de lagrange. 147
6.1 Máximos y mínimos 147
6.2 Extremos con restricciones: Multiplicadores de Lagrange 162

7 Integral doble e integral triple. Cambio de variable. 167
7.1 Proyecciones Sobre los Planos Coordenados. 167
7.2 Integral Doble. 171
7.3 Área y Volumen 176
7.4 Cambio de Variable en una Integral Doble. 184
7.4.1 Caso de Coordenadas Polares. 184
7.5 Integral Triple. 192
7.6 Cambio de Variables. Coordenadas Cilíndricas y Esféricas. 194
7.6.1 Coordenadas Cilíndricas. 195
7.6.2 (*) Coordenadas Esféricas. 204
7.6.3 (*) Describiendo Superficies en Coordenadas Esféricas. 204
7.6.4 (*) Intercambiar Ejes. 207
7.6.5 (*) Cambio de Variable con Coordenadas Esféricas. 207
7.7 Singularidades. 215

8 Integral de línea. Integral de superficie. 217
8.1 Curvas y Parametrizaciones. 217
8.2 Campos Escalares y Campos Vectoriales. 220
8.3 Longitud de una Curva. 222
8.4 Integral de Línea para Campos Escalares. 224
8.5 (*)Longitud de Arco en Coordenadas Polares. 225
8.6 Integral de Línea para Campos Vectoriales. 227
8.7 Independencia de la Trayectoria. 233
8.8 Teorema de Green (en el plano). 238
8.9 Integral de Línea para el Área. 241
8.10 Parametrización de una Superficie. 241
8.10.1 Superficies Regulares (suaves). 243
8.11 Área de una Superficie. 243
8.12 Integral de un Campo Vectorial sobre una Superficie. 248
8.12.1 Superficies Orientables. 256
8.13 Teorema de la Divergencia. 258
8.14 Teorema de Stokes (Teorema de Green en el espacio). 262
8.15 Ejemplos adicionales. 268