En esta sección, exploraremos las “Funciones Trigonométricas Fundamentales“, un conjunto esencial de herramientas matemáticas utilizadas para comprender las relaciones angulares en la naturaleza y en diversos fenómenos periódicos. Estas funciones están intrínsecamente relacionadas con los ángulos y proporcionan una forma poderosa de modelar y analizar movimientos oscilatorios, ondas, vibraciones y otros patrones repetitivos en la naturaleza.
Las funciones trigonométricas fundamentales son seis en total y se definen principalmente en términos de triángulos rectángulos, donde uno de los ángulos es de 90 grados (ángulo recto). Las seis funciones son: seno (sin), coseno (cos), tangente (tan), cosecante (csc), secante (sec) y cotangente (cot).
Seno y Coseno
El Seno \((sin)\) y el Coseno \((cos)\) son dos de las funciones trigonométricas más básicas. En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo es igual a la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa, mientras que el coseno es igual a la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Estas funciones se representan matemáticamente como \(sin(θ)\) y \(cos(θ)\), donde \(θ\) es el ángulo en cuestión.
Propiedades del Seno
- El rango del seno está acotado entre \(-1\) y \(1\). Esto significa que \(sen(θ)\) siempre oscilará entre \(-1\) y \(1\) para cualquier valor de \(θ\).
- El seno es una función periódica, lo que significa que se repite en intervalos regulares. Su período es de \(360\) grados (o 2π radianes) para ángulos en grados o radianes, respectivamente. Esto se debe a que el seno de un ángulo y su coterminal tienen el mismo valor.
- El seno es una función impar, lo que significa que \(sen(-θ) = -sen(θ)\). Esto implica que la gráfica de la función seno es simétrica con respecto al origen.
$$senθ =\frac{op}{hip}$$
Propiedades del Coseno
- Al igual que el seno, el rango del coseno también está acotado entre \(-1\) y \(1\). Así, \(cos(θ)\) siempre oscilará entre \(-1\) y \(1\) para cualquier valor de \(θ\).
- Al ser una función periódica, el coseno tiene un período de \(360\) grados (o 2π radianes) para ángulos en grados o radianes, respectivamente. Como resultado, el coseno de un ángulo y su coterminal tienen el mismo valor.
- El coseno es una función par, lo que significa que \(cos(-θ) = cos(θ)\). Esto implica que la gráfica de la función coseno es simétrica con respecto al eje vertical de simetría.
$$cosθ =\frac{ady}{hip}$$
Tangente
La función tangente se define como la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente en un triángulo rectángulo. En términos matemáticos:
$$tanθ =\frac{senθ}{cosθ} = \frac{\frac{op}{hip}}{\frac{ady}{hip}} = \frac{op}{ady}$$
La tangente es útil para analizar pendientes, ángulos de inclinación y ángulos de elevación en diversas aplicaciones, como la topografía, la navegación y la ingeniería civil. Además, la tangente es ampliamente utilizada en problemas que involucran trayectorias, pendientes de gráficas, y en cálculos trigonométricos avanzados.
Propiedades de la Tangente
- La función tangente no está acotada, lo que significa que no tiene un rango específico. La tangente puede tomar valores positivos o negativos y puede aumentar o disminuir indefinidamente a medida que el ángulo cambia. Asi, su rango es \((-\infty, \infty)\).
- Su intercepcion con el eje \(y\) se da en el punto \((0, 0)\), mientras que con el eje \(x\) es \(n\pi\), donde \(n\) es un entero.
- La tangente es una función periódica, con un período de 180 grados (o \(\pi \text{radianes})\). Esto significa que \(tan(θ)\) es igual a \(tan(θ + 180°) o tan(θ + \pi \text{radianes})\).
- La función tangente tiene asíntotas verticales, lo que significa que no puede tener valores donde el coseno es igual a cero. Por lo tanto, la tangente no está definida en ángulos de 90°, 270°, etc., ya que en esos casos, el cateto adyacente sería igual a cero.
- Es una función impar, puesto que es simétrica con respecto al origen.
Funciones Recíprocas o Inversas
Las Funciones Recíprocas (cosecante, secante y cotangente) son llamadas así dado que son las inversas de las funciones trigonométricas fundamentales: seno, coseno y tangente, respectivamente. Estas funciones son valiosas para resolver ecuaciones trigonométricas y establecer relaciones entre diferentes funciones trigonométricas. Su comprensión y aplicación efectivas nos permiten simplificar expresiones y resolver ecuaciones trigonométricas, así como analizar fenómenos periódicos y problemas en física, ingeniería y otras áreas.
Las tres funciones recíprocas son la cosecante (csc), la secante (sec) y la cotangente (cot), y están definidas en términos de los catetos y la hipotenusa en un triángulo rectángulo.
Cosecante
La función cosecante es la inversa del seno. Se define como la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto en un triángulo rectángulo.
$$cscθ =\frac{hip}{op} = \frac{1}{senθ}$$
Secante
La función secante es la inversa del coseno. Se define como la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente en un triángulo rectángulo.
$$secθ =\frac{hip}{ady} = \frac{1}{cosθ}$$
Cotangente
La función cotangente es la inversa de la tangente. Se define como la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud del cateto opuesto en un triángulo rectángulo.
$$cotθ =\frac{ady}{op} = \frac{1}{tanθ}$$
