Los principios de conservación son las leyes fundamentales de la Física y son claves para entender muchos fenómenos que se dan en nuestro día a día. En concreto, el principio de conservación del momento lineal es una consecuencia del Principio de Acción Reacción o Tercera Ley de Newton.
El principio de conservación del momento lineal, también conocido como principio de conservación de la cantidad de movimiento, establece que si la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo o sistema es nula, su momento lineal permanece constante en el tiempo. ?F?=0 ?p?= constante
Cuna de Newton
La cuna de Newton, también conocida como péndulo de Newton, ilustra la conservación del momento lineal en ausencia de fuerzas exteriores.
Cuando lanzas una de las bolas de los extremos contra las demás, la fuerza es transmitida a través del resto de bolas hasta la bola del extremo contrario. Este proceso se repite, idealmente, de manera indefinida. En la realidad, la fuerzas disipativas hacen que las bolas terminen parándose.
Demostración
Piensa en dos cuerpos A y B aislados en los que solo exista una interacción entre ellos. Según el Principio de Acción Reacción: F?AB=-F?BA
Sabiendo que F?=?p??t
entonces: ?p?A?t=-?p?B?t??p?A+p?B?t=0
Esta expresión nos dice que la variación de la suma de los momentos lineales es nula y por lo tanto el momento lineal total de ambos cuerpos permanece constante: p?A+p?B = constante
Notación diferencial
Ya hemos explicado en numerosas ocasiones que, en el lenguaje matemático, cuando una magnitud permanece constante en el tiempo tiene una derivada igual a cero respecto a este. Por tanto, en el caso que nos ocupa podríamos escribir: ?F?=0 ?dp?dt=0
Choques y explosiones
En física decimos que un sistema aislado es aquel que no interacciona con el exterior, y por tanto no se ve sometido a fuerzas externas a él. Las partículas que intervienen en choques, explosiones, colisiones, motores a reacción, etc, se pueden considerar sistemas aislados en los que las fuerzas exteriores se pueden despreciar frente a la intensidad de las interiores. El principio de conservación del momento lineal tiene una importante aplicación en el estudio de estos fenómenos, cuando no conocemos las causas que los originan, ya que antes del fenómeno y después del fenómeno el momento lineal de todo el sistema:
Conservación momento en choque
Si al lanzar la bola verde contra la roja, esta última adquiere el momento lineal p?roja
, la única posibilidad es que la bola verde salga disparada en la dirección que marca la imagen, y con el momento lineal p?verde
. Esto es debido a que el momento lineal final del sistema, que es la suma vectorial ( regla del paralelogramo ) de los momentos lineales de cada una de las bolas, debe coincidir con el momento lineal inicial, anterior al choque, que es el que tenía la bola verde. p?antes=p?despues
Ejemplo
\(f l\left(x_2\right)=\frac{-2 c}{b-\sqrt{b^2-4 a c}}=\frac{-2.000}{62.10-62.06}=\frac{-2.000}{0.04000}=-50.00\)
En una competición de tiro al plato, un concursante dispara a un plato con un rifle de 2,5 Kg. Sabiendo que la bala tiene 23 g y sale horizontalmente a una velocidad de 350 m/s, ¿Cuál es el retroceso que sufre el rifle?
Solución Éste es el polinomio de Lagrange que concuerda con \(f(x)\) en \(x_1=2, x_2=3 \mathrm{y}\) \(x_4=6\). Por lo tanto,
$$
P_{1,2,4}(x)=\frac{(x-3)(x-6)}{(2-3)(2-6)} e^2+\frac{(x-2)(x-6)}{(3-2)(3-6)} e^3+\frac{(x-2)(x-3)}{(6-2)(6-3)} e^6 .
$$
por lo que,
$$
\begin{aligned}
f(5) \approx P(5) & =\frac{(5-3)(5-6)}{(2-3)(2-6)} e^2+\frac{(5-2)(5-6)}{(3-2)(3-6)} e^3+\frac{(5-2)(5-3)}{(6-2)(6-3)} e^6 \
& =-\frac{1}{2} e^2+e^3+\frac{1}{2} e^6 \approx 218.105 .
\end{aligned}
$$
El siguiente resultado describe un método para generar de forma recursiva las aproximaciones del polinomio de Lagrange.
Leyes de Newton
Como hemos visto en la demostración anterior, podemos considerar el principio de conservación del momento lineal como una consecuencia directa de la tercera ley de Newton. Además, si lo aplicamos a un cuerpo cuya masa no varía, es equivalente a la primera ley de Newton:
?F?=0 ?dp?dt=0?p?=m·v?m=cte?0m·dv?dt=0?v?=cte
$$
f l\left(x_2\right)=\frac{-2 c}{b-\sqrt{b^2-4 a c}}=\frac{-2.000}{62.10-62.06}=\frac{-2.000}{0.04000}=-50.00
$$