Definición y matrices asociadas de una cuádrica analítica

Dado un polinomio cuadrático real
$$q$x,y,z$=ax^2+by^2+cz^2+2fxy+2gxz+2hyz+ \ +2px+2qy+2rz+d$$
en las coordenadas rectangulares $$x,y,z$$, diremos que la ecuación $q$x,y,z$=0$ define una cuádrica, que denotaremos por $Q$.

Recordemos que la definición cuadrático incluye la condición de que la parte principal de $q$x,y,z$$ $$q_2$x,y,z$=ax^2+by^2+cz^2+2fxy+2gxz+2hyz$$no es idénticamente nula.

Un punto $$a, b, c$$ pertenece a la cuádrica $Q$ si y solo si $Q $a, b, c$ = 0$. El punto se llama real si $a, b, c$ son reales e imaginario si alguna de sus coordenadas es compleja.

Nótese, que si $$a, b, c$$ es un punto imaginario perteneciente a la cuádrica, como $q$x,y,z$$ es un polinomio real, $Q$ contiene al conjugado de $$a, b, c$$.

Si $$x’,y’.z’$$ es otro sistema de coordenadas rectangulares y
$$q$x’,y’,z’$=a’x’^2+b’y’^2+c’ z’^2+2f’x’y’+2g’x’z’+$$
$$+2h’y’z’+2p’x’+2q’y’+2r’z’+d’$$
es un polinomio cuadrático real en $x’,y’,z’$, diremos que $Q$ coincide con $Q’$, o que las ecuaciones $q$x,y,z$=0$ y $q’$x’,y’,z’$=0$ definen la misma cuádrica, si y solo si existe un número real no nulo $K$ tal que $$q’$x’,y’,z’$=Kq$x’,y’z’$$$
donde $q’$x’,y’,z’$=0$ denota el polinomio en $$x’,y’,z’$$ que se obtiene substituyendo las coordenadas $$x,y,z$$ del polinomio $q$x,y,z$$ por las expresiones del cambio de coordenadas $$x’,y’,z’$$.

Matrices asociadas

Ponemos
$$A= begin{bmatrix} a & f & g \ f & b & h \ g & h & c end{bmatrix}$$
y decimos que es la matriz principal del polinomio $q$x,y,z$$.

Análogamente, definimos
$$overline{A}=begin{bmatrix} A & omega^T \ omega d end{bmatrix}, omega=$p,q,r$$$
y decimos que es la matriz del polinomio $q$x,y,z$$.

También decimos que $A$ es la matriz principal de $overline{A}$. A estas dos matrices también se las llama matriz del infinito y matriz proyectiva de la cónica.

El conocimiento de $A$ equivale al de la parte principal de $q$x,y,z$$ $es decir a $q_2$x,y,z$$$, ya que
$$q_2$x,y,z$=$x,y,z$A$x,y,z$^T $$

Análogamente, el conocimiento de $overline{A}$ equivale al conocimiento de $q$x,y,z$$ ya que
$$q$x,y,z$=$x,y,z,1$overline{A}$x,y,z,1$^T$$

Observemos, sin embargo, que la cuádrica $Q$ sólo determina $overline{A}$ salvo un factor real no nulo.

A continuación, vamos a dar dos resultados que nos van a permitir reducir la ecuación general de una cuádrica:

• Dado un polinomio $q$X$=q$x,y,z$$ en las coordenadas $X=$x,y,z$$, con matriz $A$ y matriz principal $overline{A}$, el polinomio $q$X’$=q$x’,y’,z’$$ definido por la fórmula $q$X’$=q$X’M^t+P$$ tiene matriz $overline{A}’=overline{M}^Toverline{A}overline{M}$ y matriz principal $A’ = M^TAM$.Obsérvese que en este resultado usamos la notación $X=$x,y,z$$ para indicar que $X$ es el vector tridimensional que tiene por coordenadas $X$. Esta notación la usamos para ahorrarnos escritura.
• Dado un sistema de coordenadas rectangulares $X=$x,y,z$$ y un polinomio cuadrático $q$x,y,z$$, existe un sistema de coordenadas rectangulares $X’=$x’,y’,z’$$ tal que la parte principal del polinomio $q$x’,y’,z’$$ tiene la forma $lambda_1 x’^2+lambda_2y’^2+lambda_3z’^2$ que denominaremos forma diagonal. Además,$lambda_1$,$lambda_2$ y $lambda_3$ son valores propios reales de la matriz principal de $q$x,y,z$$.

Ejemplo