Este caso se diferencia únicamente de la Ecuación III de la elipse en que el eje mayor es paralelo al eje $OY$. La ecuación sólo queda modificada en que $x$ e $y$ se intercambian los papeles, por lo tanto, tendrán los coeficientes del denominador cambiados.
Veamos la demostración:
El eje focal es ahora paralelo al eje de las ordenadas, y por lo tanto los focos están en los puntos $F’$x_0,y_0-c$$ y $F$x_0,y_0+c$$.
Aplicando ahora la definición general obtenemos
$$\displaystyle \sqrt{$x-x_0$^2+$y-y_0+c$^2}+\sqrt{$x-x_0$^2+$y-y_0-c$^2}=2a$$
Tal y como se hizo para la elipse horizontal, se suma la raíz, y elevamos los dos lados de la ecuación al cuadrado: $$\displaystyle \Big$\sqrt{$x-x_0$^2+$y-y_0+c$^2}\Big$^2=\Big$2a-\sqrt{$x-x_0$^2+$y-y_0-c$^2}\Big$^2$$
$$$x-x_0$^2+$y-y_0+c$^2=4a^2-4a\sqrt{$x-x_0$^2+$y-y_0-c$^2}+$x-x_0$^2+$y-y_0-c$^2$$
$$$x-x_0$^2+$y-y_0$^2+2$y-y_0$c+c^2= 4a^2-4a \sqrt{$x-x_0$^2+$y-y_0-c$^2}+$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +$x-x_0$^2+$y-y_0$^2-2$y-y_0$c+c^2$$
Al simplificar y dividiendo por cuatro en los dos lados obtenemos:
$$4$y-y_0$c=4a^2-4a\sqrt{$x-x_0$^2+$y-y_0-c$^2}$$
$$$y-y_0$c=a^2-a \sqrt{$x-x_0$^2+$y-y_0-c$^2}$$
Al despejar la raíz y elevar nuevamente al cuadrado:
$$$c$y-y_0$-a^2$^2= \Big$-a \sqrt{$x-x_0$^2+$y-y_0-c$^2}\Big$^2$$
$$c^2$y-y_0$^2-2a^2c$y-y_0$+a^4= a^2$$x-x_0$^2+$y-y_0-c$^2$$$
$$c^2$y-y_0$^2-2a^2c$y-y_0$+a^4=a^2$$x-x_0$^2+$y-y_0$^2-2c$y-y_0$+c^2$$$
$$c^2$y-y_0$^2-2a^2c$y-y_0$+a^4=a^2$x-x_0$^2+a^2$y-y_0$^2-2a^2c$y-y_0$+a^2c^2$$
$$c^2$y-y_0$^2-a^2$y-y_0$^2-a^2$x-x_0$^2= a^2 c^2-a^4$$
$$$c^2-a^2$$y-y_0$^2-a^2$x-x_0$^2=a^2$c^2-a^2$$$
Dividir entonces entre $a^2$c^2-a^2$$ para obtener un 1 a la derecha:
$$\displaystyle \frac{$c^2-a^2$$y-y_0$^2}{a^2$c^2-a^2$}-\frac{a^2$x-x_0$^2}{a^2$c^2-a^2$}=1$$
$$\frac{$y-y_0$^2}{a^2}-\frac{$x-x_0$^2}{$c^2-a^2$}=1 $$
Al aplicar la definición $a^2= b^2+c^2$, $-b^2=c^2-a^2$ se sustituye y se llega a la ecuación deseada para la elipse vertical:
$$\displaystyle \frac{$y-y_0$^2}{a^2}- \frac{$x-x_0$^2}{-b^2}= 1 \Longrightarrow \frac{$y-y_0$^2}{a^2}+\frac{$x-x_0$^2}{b^2}=1 $$.
Ejemplo
Determinar la ecuación de una elipse con centro en el punto $$1,-1$$ y con un foco en el punto $$1,2$$. Además se sabe que pasa por el punto $$1,4$$.
Primero debemos pensar en qué eje están los focos de la elipse. Como el centro es $$1,-1$$ y un foco está en el $$1,2$$, nos damos cuenta que la primera componente se mantiene en el 1, es decir la recta que une el centro con tal foco es la recta $x=1$.
Así pues ya sabemos que los focos están sobre una recta paralela al eje de ordenadas $OY$. Si la elipse pasa por el punto $$1,4$$, la distancia de tal punto $que también es de la recta $x=1$ y por lo tanto del eje mayor$ al centro es la diferencia de sus componentes $y$.
Es decir: $a=4-$-1$=5$.
De la misma manera se razona que el valor de $c$ que es la distancia del foco al centro es la resta de sus segundas componentes, es decir: $c=2-$-1$=3$.
Como ya tenemos los valores de $a$ y $c$, mediante la relación $a^2=b^2+c^2$, obtenemos: $b=\sqrt{25-9}=4$.
Sustituyendo en la ecuación:
$$\displaystyle \frac{$y-y_0$^2}{a^2}+\frac{$x-x_0$^2}{b^2}=1 \Longrightarrow \frac{$y+1$^2}{5^2}+\frac{$x-1$^2}{4^2}=1$$
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