Fórmulas Del ángulo Doble, ángulo Mitad Y ángulo Triple

Imagina que conoces perfecto las funciones trigonométricas de $30^\circ$, pero necesitas con urgencia las de $60^\circ$ (el doble) o las de $15^\circ$ (la mitad). ¿Necesitas memorizar una nueva tabla? Para nada. Las fórmulas de ángulo múltiple son herramientas de “clonación” y “reducción”: te permiten calcular $2x$, $3x$ o $\frac{x}{2}$ usando solo la información del ángulo original $x$. Son el pan de cada día en cálculo integral, sobre todo cuando necesitas convertir potencias cuadráticas en expresiones lineales o cuando aparece una onda con frecuencia duplicada.

Otra razón por la que son importantes, es que muchas veces un ejercicio te da un valor como $\text{sen }\alpha$ o $\cos\alpha$ (y te dice el cuadrante) y te pide algo como $\text{sen }(\frac{2}{\alpha})$ o $\cos(\frac{\alpha}{2})$. Ahí no hay “tabla” que te salve: lo que manda son estas identidades.

Fórmulas del ángulo doble

Estas fórmulas se obtienen directo de las identidades de suma haciendo $A=B=\theta$. Son de las más usadas porque simplifican expresiones, ayudan en integrales y aparecen en ecuaciones trigonométricas.

Seno del ángulo doble:
$$\text{sen }(2\theta)=2\text{sen }\theta\cos\theta$$

Para el coseno, conviene memorizar las tres versiones, porque cada una se adapta mejor según lo que tengas en el ejercicio:

Coseno del ángulo doble:
1. $\cos(2\theta)=\cos^{2}\theta-\text{sen }^{2}\theta$
2. $\cos(2\theta)=1-2\text{sen }^{2}\theta$
3. $\cos(2\theta)=2\cos^{2}\theta-1$

La tangente también tiene su versión de ángulo doble. Ojo con el denominador, porque puede anularse si $\tan^{2}\theta = 1$:
$$\tan(2\theta)=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}$$

Gráficamente, el “ángulo doble” $\text{sen }(2x)$ comprime la onda en horizontal: completa dos ciclos en el mismo tramo donde $\text{sen } x$ completa uno. Esa es exactamente la idea de duplicar frecuencia.

Fórmulas del ángulo mitad

Las fórmulas de ángulo mitad (también llamadas de semirreducción) sirven para calcular funciones como $\text{sen}(15^\circ)$, $\cos(22.5^\circ)$ o $\tan(7.5^\circ)$ a partir de un ángulo “doble” que sí conocemos (por ejemplo $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, etc.). La idea es: si puedes relacionar tu ángulo como $\frac{u}{2}$, entonces trabajas con $u$ (el doble), aplicas una identidad de ángulo doble y despejas.

Por ejemplo si quieres calcular $\text{sen }(15^\circ)$ o $\cos(22.5^\circ)$, lo típico es “subir” al doble ( $30^\circ$ y $45^\circ$ en este caso) y luego aplicar ángulo mitad.

La parte delicada es el signo $\pm$: depende del cuadrante del ángulo mitad, no del ángulo original.

El truco conceptual viene del coseno del ángulo doble:
$$\cos u=1-2\text{sen }^{2}\left(\frac{u}{2}\right)\quad\text{y}\quad \cos u=2\cos^{2}\left(\frac{u}{2}\right)-1$$
Si despejas $\text{sen }\left(\frac{u}{2}\right)$ o $\cos\left(\frac{u}{2}\right)$, aparecen raíces. Por eso estas fórmulas son súper útiles cuando quieres obtener valores exactos con radicales (y también cuando en cálculo necesitas convertir $\text{sen }^{2}x$ o $\cos^{2}x$ en algo con $\cos(2x)$.

El detalle más importante: el signo $\pm$ no es “capricho”; depende del cuadrante donde cae $\frac{u}{2}$. Por ejemplo, $\cos\left(\frac{u}{2}\right)$ es positivo en los cuadrantes I y IV, y negativo en II y III. Si el ejercicio te da el intervalo o el cuadrante, ya tienes el signo. Si no te lo da, dejas el $\pm$ o razonas con el contexto.

Función	Fórmula
Seno mitad $\text{sen}\left(\frac{u}{2}\right)$	$$\text{sen}\left(\frac{u}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos u}{2}}$$
Coseno mitad $\cos\left(\frac{u}{2}\right)$	$$\cos\left(\frac{u}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1+\cos u}{2}}$$
Tangente mitad $\tan\left(\frac{u}{2}\right)$	$$\tan\left(\frac{u}{2}\right)=\frac{1-\cos u}{\text{sen }u}=\frac{\text{sen }u}{1+\cos u}$$

Nota: la tangente mitad no trae raíz ni $\pm$ explícito porque el signo sale automáticamente según los signos de $\text{sen } u$ y $\cos u$.

Fórmulas del ángulo triple

Se usan menos, pero son oro en demostraciones y en ciertos problemas de ecuaciones trigonométricas:

$\text{sen }(3x)=3\text{sen } x-4\text{sen }^{3}x$
$\cos(3x)=4\cos^{3}x-3\cos x$
$\tan(3x)=\frac{3\tan x-\tan^{3}x}{1-3\tan^{2}x}$

Ejemplo 1: aplicando ángulo doble

Problema: si $\text{sen }\alpha=\frac{3}{5}$ y $\alpha$ está en el II cuadrante, hallar $\text{sen }(2\alpha)$.

Dato: $\text{sen }\alpha=\frac{3}{5}$.
Cuadrante: en II cuadrante, $\cos\alpha$ es negativo.
Encuentra $\cos\alpha$: por Pitágoras:
$$\cos^{2}\alpha=1-\text{sen }^{2}\alpha=1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}\Rightarrow \cos\alpha=-\frac{4}{5}$$
Aplica seno doble:
$$\text{sen }(2\alpha)=2\text{sen }\alpha\cos\alpha=2\left(\frac{3}{5}\right)\left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{24}{25}$$

Ejemplo 2: valor exacto con ángulo mitad

Problema: hallar el valor exacto de $\cos(22.5^\circ)$.

$22.5^\circ$ es la mitad de $45^\circ$, así que usa coseno mitad con $u=45^\circ$.
Como $22.5^\circ$ está en el I cuadrante, el coseno es positivo.
$$\cos(22.5^\circ)=\sqrt{\frac{1+\cos45^\circ}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$$
$$=\sqrt{\frac{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$$

Las identidades de ángulo doble, mitad y triple son herramientas para “traducir” ángulos difíciles a ángulos manejables. Si te acostumbras a elegir la versión correcta (por ejemplo, el coseno doble con solo senos o solo cosenos), vas a ahorrar pasos, especialmente cuando aparezcan integrales o expresiones con potencias.

Fórmulas del ángulo doble, ángulo mitad y ángulo triple