En matemáticas, a veces “divide y vencerás” no es la mejor estrategia; a veces es mejor “suma y vencerás”. Imagina que necesitas resolver la ecuación $\text{sen }(5x)+\text{sen }(3x)=0$. No puedes “sumar ángulos” a la brava. Aquí es donde entran las fórmulas de transformación (también conocidas como fórmulas de Werner). Estas identidades te permiten convertir una suma o resta de senos/cosenos en un producto (ideal para factorizar y resolver ecuaciones), o al revés, convertir un producto en una suma (vital para integrales y para simplificar señales).
La idea práctica es simple:
- Si ves productos tipo $\text{sen } A\cos B$, te conviene pasar a suma.
- Si ves sumas/restas tipo $\text{sen } A\pm \text{sen } B$, te conviene pasar a producto para factorizar.
1. De producto a suma
Estas fórmulas son súper comunes en cálculo. Convertir un producto como $\text{sen }(A)\cos(B)$ en una suma hace que la integral se vuelva directa, porque puedes integrar término a término. Se obtienen combinando las fórmulas de suma y diferencia ($A+B$ y $A-B$).
Fórmulas de producto a suma:
$$\text{sen } A\cos B=\frac{1}{2}\left[\text{sen }(A+B)+\text{sen }(A-B)\right]$$
$$\cos A\text{sen } B=\frac{1}{2}\left[\text{sen }(A+B)-\text{sen }(A-B)\right]$$
$$\cos A\cos B=\frac{1}{2}\left[\cos(A+B)+\cos(A-B)\right]$$
$$\text{sen } A\text{sen } B=\frac{1}{2}\left[\cos(A-B)-\cos(A+B)\right]$$
Ojo: en la última es “cos(diferencia) menos cos(suma)”.
2. De suma a producto
Estas son las salvadoras cuando tienes que resolver ecuaciones trigonométricas igualadas a cero. Transforman una suma de ondas en una multiplicación, y ahí sí puedes aplicar “producto cero”.
Fórmulas de suma a producto:
$$\text{sen } A+\text{sen } B=2\text{sen }\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$
$$\text{sen } A-\text{sen } B=2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\text{sen }\left(\frac{A-B}{2}\right)$$
$$\cos A+\cos B=2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$
$$\cos A-\cos B=-2\text{sen }\left(\frac{A+B}{2}\right)\text{sen }\left(\frac{A-B}{2}\right)$$
Cuando sumas dos ondas de frecuencias cercanas (por ejemplo $\text{sen }(10t)+\text{sen }(11t)$), la fórmula de suma a producto muestra que el resultado es una onda rápida multiplicada por una envolvente lenta. Eso crea la “pulsación” o batido: el volumen sube y baja de forma periódica.
Ejemplo 1: resolviendo una ecuación (suma a producto)
Resolver: $\text{sen }(5x)+\text{sen }(3x)=0$ en $[0,2\pi]$.
- Usa la forma $$\text{sen } A+\text{sen } B=2\text{sen }\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$
- Sustituye $A=5x$, $B=3x$:
$$2\text{sen }\left(\frac{5x+3x}{2}\right)\cos\left(\frac{5x-3x}{2}\right)=0$$
$$2\text{sen }\left(\frac{8x}{2}\right)\cos\left(\frac{2x}{2}\right)=0$$
$$2\text{sen }(4x)\cos(x)=0$$ - Usamos producto cero y despejamos el valor de $x$:
- $\text{sen }(4x)=0\Rightarrow 4x=n\pi \qquad \Rightarrow \qquad x=\frac{n\pi}{4}$
- $\cos(x)=0\qquad \Rightarrow \qquad x=\frac{\pi}{2}+n\pi$
En $[0,2\pi]$, esto te da los múltiplos de $\frac{\pi}{4}$, y el caso del coseno ya está incluido dentro de esos múltiplos (porque $\frac{\pi}{2}=\frac{2\pi}{4}$ y $\frac{3\pi}{2}=\frac{6\pi}{4}$). Así que el set final es:
$$x\in\left\{0,\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4},\pi,\frac{5\pi}{4},\frac{3\pi}{2},\frac{7\pi}{4},2\pi\right\}$$
Ejemplo 2: simplificación para cálculo (producto a suma)
Problema: expresar $\cos(4\theta)\cos(2\theta)$ como suma.
- Usamos $$\cos A\cos B=\frac{1}{2}\left[\cos(A-B)+\cos(A+B)\right]$$
- Sustituye $A=4\theta$, $B=2\theta$:
$$\cos(4\theta)\cos(2\theta)=\frac{1}{2}\left[\cos(2\theta)+\cos(6\theta)\right]$$
Ahora integrar es directo, porque integras cosenos por separado.
Con esto cerramos el bloque de identidades trigonométricas. Ya tienes un arsenal completo: recíprocas, cocientes, pitagóricas, ángulos compuestos, ángulo doble/mitad y ahora las transformaciones de Werner. El siguiente gran paso es aplicar todo esto en triángulos oblicuángulos (ley de senos y cosenos) en contextos reales como navegación y topografía.
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