Fuerzas y M.C.U. en el Péndulo Cónico

Un péndulo cónico es un sistema formado por un cuerpo de masa m que cuelga de una cuerda unida a otro cuerpo fijo, como por ejemplo el techo, y que se mueve con celeridad constante describiendo una circunferencia. Dicha cuerda forma un ángulo ? con la vertical.

Si lo piensas un poco, te darás cuenta que el movimiento que describe la masa es un movimiento circular uniforme $m.c.u.$. Esto implica que el cuerpo estará sometido a una aceleración normal o centrípeta, que lo obliga a cambiar de dirección constantemente, y por tanto si existe aceleración normal, existe también una fuerza que lo provoca: la fuerza centrípeta.

Vamos a estudiar este caso concreto, incluyendo el diagrama de las fuerzas que intervienen sobre el cuerpo.

Estudiando cada eje por separado y aplicando el criterio de signos según el sentido de los ejes de coordenadas, tal y como estudiamos en el apartado de Problemas de Fuerzas: Criterios de Signos:

Eje X $$?F^{?}_{x}=m·a^{?}_{n} ?Tx=m·a_{n} ?T·sin$?$=m·\frac{v^{2}}{R}       [1]$$

Eje Y

Dado que su movimiento en este eje es nulo, su aceleración también: $$?F^{?}_{y}=m·a^{?} ?T_{y}-P=m·a ?T·cos$?$=m·g       [2]$$

Cálculo del ángulo ?

Si dividimos, cada uno de los miembros de las ecuaciones [1] y [2] obtenemos que: $$?F^{?}_{y}=m·a^{?} ?T_{y}-P=m·a ?\frac{T·sin$?$}{T·cos$?$}=\frac{m·\frac{v^{2}}{R}}{m·g} ?tan$?$=\frac{v^{2}}{g·R}$$

Cálculo de la tensión T

Si despejamos en la ecuación [2], podemos determinar que: $$T=\frac{m·g}{cos$?$}$$

Sin embargo, si queremos determinar la tensión sin necesidad de calcular el ángulo, podemos elevar al cuadrado las ecuaciones [1] y [2] y sumarlas, por lo que: $$T=\sqrt{$m·g$^{2}+$m·\frac{v^{2}}{R}$^{2}}$$

Ejemplo

Una masa de 4200 gr se encuentra a unidad a un hilo de 150 cm de longitud que cuelga del techo de una habitación. Si el cuerpo describe un movimiento circular uniforme de 50 cm de radio, determinar:
a$ la que velocidad a la que se mueve.
b$ el valor de la tensión de la cuerda.

Solución

Datos

$m = 4200 gr = 4.2 kg$

$L = 150 cm = 1.5 m$

$R = 50 cm = 0.5 m$

$g = 9.8 m/s^{2}$

v?

T?

Cuestión a$

Resolución

Si realizamos el diagrama de cuerpo libre de la masa, obtendremos algo similar a lo siguiente:

El péndulo cónico se mueve realizando un m.c.u., esto implica que la única aceleración que posee el cuerpo es la aceleración centrípeta. Aplicando el principio fundamental o segunda ley de Newton para la fuerza resultante en cada eje, y teniendo en cuenta que la única aceleración que existe se produce en el eje x $$a_{x}=a_{n}, a_{y} = 0$$:

Eje X $$?F_{x}=m·a_{1}y ? T_{x} = m·a_{n} ? T·sin$?$=m·\frac{v^{2}}{R} [1]$$

Eje Y $$?f_{Y}=m·a_{y} ? T_{y}-P = m·0 ? T_{y}·cos$?$=m·g [1]$$

Si dividimos miembro a miembro, las ecuaciones [1] y [2], obtenemos la siguiente expresión: $$\frac{T·sin$?$}{T·cos$?$}=\frac{m·\frac{v^{2}}{R}}{m·g} ? tan$?$ = \frac{v^{2}}{g·R} [3]$$

Si despejamos la v en [3]: $$v=\sqrt{g·R·tan$?$}[4]$$

Conocemos el valor de g y el valor de R, pero desconocemos el angulo ?. Sin embargo, si aplicamos la definición de seno: $$sin$?$=\frac{R}{L} ? sin$?$ = \frac{0.5}{1.5} ? ? =sin^{-1}$0.33$ ? ?=19.47°$$

Sustituyendo ahora todos los valores en [4]: $$v=\sqrt{g·R·tan$?$}? v= \sqrt{9.8*0.5*tan$19.47$} ? v=1.31m/s$$

Cuestión b$

Dado que conocemos el valor de ?, m y g, si los sustituimos en la ecuación [2], podremos calcular el valor de la tensión de la cuerda: $$T·cos$?$=m·g?T=\frac{m·g}{cos$?$} ? T = \frac{4.2·9.8}{cos$19.47$} ? T=43.78 N$$