Las funciones trigonométricas inversas son un componente vital en el campo de la trigonometría, permitiendo a los matemáticos explorar las relaciones entre los ángulos y las razones trigonométricas. En esta sección, nos sumergiremos en un análisis completo de las funciones trigonométricas inversas, explorando sus definiciones y propiedades fundamentales.
Mientras que las funciones trigonométricas tradicionales toman un ángulo como entrada y producen una relación entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, las funciones trigonométricas recíprocas toman una razón trigonométrica $como una relación de lados$ y producen el ángulo correspondiente.
Definición de las funciones inversas
Las tres funciones trigonométricas inversas principales son el arcoseno $arcsin$, el arcocoseno $arccos$ y la arcotangente $arctan$. Cada una de estas funciones toma una razón trigonométrica como entrada y devuelve el ángulo correspondiente. Por ejemplo, el arcoseno de un valor “x” devuelve el ángulo cuyo seno es “x”. Estas funciones se denotan como $\arcsin$x$$ , $\arccos$x$$ y $\arctan$x$$ .
Por otra parte, estas funciones tienen relaciones con las funciones trigonométricas convencionales. Por ejemplo:
$$\begin{array}{cc} \arccos$x$ = \frac{\pi}{2} – \arcsin$x$ & \arctan$x$ = \frac{\pi}{2} – \text{arccot}$x$\\ \end{array}$$
Propiedades de las funciones inversas
Las propiedades fundamentales de las funciones trigonométricas inversas incluyen sus dominios y rangos, que se definen cuidadosamente para garantizar que las funciones sean bien definidas y tengan una única solución. Si $y=f$x$$ es una función uno a uno, hay entonces una función inversa única, $f^{-1}$, con las propiedades correspondientes:
Al revisar las gráficas de las diversas funciones trigonométricas se ve con claridad que ninguna de esas funciones es uno a uno. Si una función $f$ no es uno a uno, se podrá restringir la función a una parte de su dominio donde sí sea uno a uno. Entonces, se puede definir una inversa de $f$ en ese dominio restringido. En el caso normal, cuando se restringe el dominio, uno se asegura de conservar todo el contradominio de la función original.
| PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES INVERSAS |
|---|
| El dominio de \(f^{-1}=contradominio\) de \(f\). |
| El contradominio de \(f^{-1}=dominio\) de \(f\) |
| \(y=f(x)\) equivale a \(x=f^{-1}(y)\) |
| Las gráficas de \(f\) y \(f^{-1}\) son reflexiones en la recta \(y=x\) |
| \(f(f^{-1}(x))=x\) para toda \(x\) en el dominio de \(f^{-1}\) |
| \(f^{-1}(f(x))=x\) para \(x\) en el dominio de \(f\) |
Función Arcoseno
En las siguientes figuras se observa que la función $y=sen x$ en el intervalo cerrado $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ asume todos los valores en su contradominio $[-1, 1]$, figura $a$. Observe que toda recta horizontal que se trace para cruzar la parte marcada por las líneas punteadas de la gráfica, lo puede hacer cuando mucho una vez. Así, la función seno en este dominio restringido es uno-a-uno y tiene una inversa.
Para representar la inversa de la función que se ve en la figura $b$ se usan normalmente dos notaciones:
$$\arcsin$x$ㅤㅤoㅤㅤ\text{sen}^{-1}x$$
Y se leen arco seno de x y seno inverso de x, respectivamente.
No es función uno-a-uno
Si es función uno-a-uno
En la figura se ha reflejado una parte de la gráfica de $y=\text{sen}x$ en el intervalo $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ $la gráfica roja en la figura en la recta $y=x$ para obtener la gráfica de $y=\arcsin$x$$ $en azul$. Como indica esta curva, el dominio de la función arcoseno es $[-1, 1]$ y el contradominio es $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$.
La función arco seno, o función seno inverso, se define por:
$$y=\arcsin$x$ㅤ\text{siㅤyㅤsoloㅤsi}ㅤx=\text{sen}y$$
Donde $-1 \le x \le 1$ y $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$.
En otras palabras:
El arco seno del número $x$ es aquel número y $o ángulo expresado en radianes$ entre $\frac{2\pi}{2}$ y $\frac{\pi}{2}$ cuyo seno es $x$.
Al usar la notación $\text{sen}^{-1}x$ es importante tener en cuenta que “-1” no es un exponente; más bien representa una función inversa. La notación $\arcsin x$ tiene la ventaja sobre la notación $\text{sen}^{-1}x$ de que no hay “-1” y en consecuencia no da pie a malas interpretaciones; es más, el prefijo “arco” se refiere a un ángulo, el ángulo cuyo seno es $x$. Pero como $y=\arcsin x$ y $y=\text{sen}^{-1}x$ se usan en forma indistinta en cálculo y en sus aplicaciones, continuaremos alternando su uso.
Función Arcocoseno
Si se restringe el dominio de la función coseno al intervalo cerrado $[0, \pi]$, la función que resulta es uno-a-uno y tiene inversa. A esta inversa se le representa por
$$\arccos$x$ㅤㅤ\text{o}ㅤㅤ\cos^{-1}x$$
Lo cual nos da la siguiente definición:
La función arco coseno, o función coseno inverso, se define por:
$$y=\arccos$x$ㅤ\text{siㅤyㅤsoloㅤsi}ㅤx=\cos y$$
Donde $-1 \le x \le 1$ y $0 \le y \le \pi$.
Las gráficas que se ven en la siguiente figura, ilustran cómo se puede restringir la función $y=\cos x$ al intervalo $[0, \pi]$ para que sea uno-a-uno. La inversa de la función que muestra la figura $b$ es $y=\arccos$x$, \text{o} y=\arccos$x$$.
Si se refleja la gráfica de la función uno a uno en la figura $b$, en la recta $y=x$, se obtiene la gráfica de $y=\arccos $x$$, que muestra la figura a continuación.
Note que en la figura $c$ se ve con claridad que el dominio y el contradominio de $y=\arccos $x$$ son $[-1, 1]$ y $[0, \pi]$, respectivamente. Donde $\pi = 3.1416$
Función Arcotangente
Si se restringe el dominio de $tan x$ al intervalo abierto $$-\pi/2, \pi/2$$, entonces, la función que resulta es uno-a-uno y por consiguiente tiene inversa. Esa inversa se representa por
$$\arctan$x$ㅤㅤ\text{o}ㅤㅤ\tan^{2}x$$
Y se leen arco tangente de x y tangente inversa de x, respectivamente.
La función arco tangente, o tangente inversa, se define como sigue:
$$y=\arctan$x$ㅤㅤ\text{si, y solo si}ㅤㅤx=\tan y$$
Donde $-\infty \lt x \lt \infty$ y $-\frac{\pi}{2} \lt y \lt \frac{\pi}{2}$
Las gráficas de la siguiente figura ilustran la forma en que se restringe la función $y=\tan x$ al intervalo abierto $$-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$$, para que sea función uno a uno.
No es función uno-a-uno
Si es función uno-a-uno
Si se refleja la gráfica $b$, que es la función uno-a-uno de la figura anterior en la recta $y=x$, se obtiene la gráfica de $y=\arctan $x$$, que se ve en la siguiente figura.
En esa figura se observa que el dominio y el contradominio de $y=\arctan$x$$ son, respectivamente, los intervalos $$-\infty, \infty$$ y $$-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$$.
Propiedades de las funciones trigonométricas con sus inversas
Cuando se estudian las funciones y sus inversas, se encuentra que $x = f^1$f$x$ = f$f^1$x$$ $. En términos de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente con sus inversas, se aplican las siguientes propiedades:
- $\arcsin$\sin x$=\sin^{-1}$\sin x$ = xㅤㅤsiㅤㅤ-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$
- $\sin$\arcsin$x$$=\sin$\sin^{-1}x$ = xㅤㅤsiㅤㅤ-1 \le x \le 1$
- $\arccos$\cos x$=\cos^{-1}$\cos x$=xㅤㅤsiㅤㅤ0 \le x \le \pi$
- $\cos$\arccos x$=\cos$\cos^{-1}x$=xㅤㅤsiㅤㅤ-1 \le x \le 1$
- $\arctan$\tan x$=\tan^{-1}$\tan x$=xㅤㅤsiㅤㅤ-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$
- $\tan$\arctan x$=\tan$\tan^{-1}x$=xㅤㅤsiㅤㅤ-\infty\le x\le\infty$
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