Ley de Cosenos

Dependiendo de si quieres hallar un lado o un ángulo, la ley se usa en dos formatos típicos.

Interpretación útil: si el coseno te da negativo, el ángulo es obtuso (mayor a $90^\circ$). Si te da positivo, el ángulo es agudo (menor a $90^\circ$).

Si estás en LAL (dos lados y el ángulo incluido):

1. Aplica Ley de Cosenos para hallar el tercer lado.
2. Con los 3 lados ya en mano, usa Ley de Senos (o Cosenos) para hallar otro ángulo.
3. El último ángulo sale por suma: $A+B+C=180^\circ$.

Si estás en LLL (tres lados):

1. Halla primero el ángulo opuesto al lado más largo usando la forma alternativa (con $\arccos$).
2. Luego usa Ley de Senos para el segundo ángulo (más simple numéricamente).
3. El tercero sale por diferencia hasta $180^\circ$.

Tip pro: empezar por el lado más largo suele evitar sorpresas, porque el ángulo opuesto es el mayor y ahí se detecta rápido si el triángulo es obtuso (coseno negativo).

$$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}\Rightarrow \sin A=a\frac{\sin B}{b}$$
$$\sin A=11\frac{\sin 34^\circ}{7.85}\approx 11\frac{0.559}{7.85}\approx 0.783$$
$$A\approx \arcsin(0.783)\approx  \boxed{51.5^\circ}$$

Paso 3: el ángulo faltante. Dado que los ángulos internos de cualquier triángulo suman $180^\circ$, en base a ese concepto y a que ya sabemos el valor de los angulos A y B, hallamos el águlo C.
$$180^\circ = A + B + C$$
$$180^\circ – A – B = C$$
$$C=180^\circ-(34^\circ+51.5^\circ)=\boxed{94.5^\circ}$$

Calcular los ángulos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ del triángulo que muestra la figura

En el triángulo se conocen los lados: $AB = 9$, $AC = 6$, $BC = 7$.

Datos:

• $\alpha$ es el ángulo en el vértice $A$
• $\beta$ es el ángulo en el vértice $B$
• $\gamma$ es el ángulo en el vértice $C$

Objetivo: hallar los ángulos del triángulo.

Paso 1: Aplicamos la Ley de los Cosenos para hallar $\gamma$. Primero buscamos el ángulo opuesto al lado más largo. El lado más largo es $9$, por lo tanto calculamos el ángulo opuesto, que es $\gamma$. Aplicamos la ley de los cosenos: $$ \begin{aligned} 9^2&=6^2+7^2-2(6)(7)\cos\gamma \\ 81&=36+49-84\cos\gamma \\ 81&=85-84\cos\gamma \\ -4&=-84\cos\gamma \\ \cos\gamma&=\frac{1}{21} \end{aligned} $$

Paso 2: Calculamos el valor numérico de $\gamma$. Ahora usamos la calculadora y calculamos el ángulo: $$ \begin{aligned} \gamma &= \cos^{-1}\left(\frac{1}{21}\right) \\ \gamma &\approx 87.27^\circ \end{aligned}$$

Paso 3: Aplicamos la Ley de los Senos para hallar $\beta$.
$$ \begin{aligned} \frac{\sin\beta}{6}&=\frac{\sin\gamma}{9} \\ \sin\beta&=\frac{6}{9}\sin87.27^\circ \\ \sin\beta&\approx0.6659 \\ \beta&\approx41.75^\circ \end{aligned} $$

Paso 4: Calculamos $\alpha$ Sabemos que la suma de los ángulos internos de un triángulo es es 180°:

$$ \begin{aligned} \alpha + \beta + \gamma &= 180^\circ \\ \alpha &= 180^\circ – \beta – \gamma \\ \alpha &= 180^\circ – 41.75^\circ – 87.27^\circ \\ \alpha &\approx 50.98^\circ \end{aligned} $$

Para ángulos entre $0^\circ$ y $90^\circ$, $\cos(\theta)$ es positivo. Entre $90^\circ$ y $180^\circ$, $\cos(\theta)$ es negativo. Por eso la Ley de Cosenos “detecta” ángulos obtusos de forma natural: el término $-2bc\cos A$ cambia de signo cuando $\cos A$ es negativo.

Es vital entender por qué el coseno puede darnos valores negativos en triángulos. La función coseno es positiva en el primer cuadrante ($0^\circ$ a $90^\circ$) y negativa en el segundo ($90^\circ$ a $180^\circ$). Esto permite a la Ley de Cosenos identificar automáticamente ángulos obtusos, algo que la Ley de Senos no hace directamente.

1) Resultante de dos vectores (física y estática).
Si tienes dos vectores de magnitudes $F_1$ y $F_2$ con ángulo $\theta$ entre ellos, la magnitud de la resultante $R$ se calcula con:
$$R^2=F_1^2+F_2^2-2F_1F_2\cos\theta$$
Esto es literalmente Ley de Cosenos aplicada al triángulo que forman los vectores.

2) Navegación / trayectorias.
Si un barco recorre dos tramos con direcciones distintas, la distancia directa del origen al destino se obtiene formando un triángulo oblicuángulo y aplicando Ley de Cosenos con el ángulo entre rumbos.

Cuando dominas Ley de Cosenos, no solo “resuelves triángulos”: también tienes una herramienta universal para medir distancias indirectas cuando el camino real dobla, gira o cambia de dirección.