Funciones trigonométricas para ángulos notables

Dos ángulos positivos son suplementarios si suman $180^\circ = \pi \ \mathrm{rad}$. Por ejemplo: $140^\circ$ y $40^\circ$ son ángulos suplementarios, puesto que la suma de ellos es: $140^\circ+ 40^\circ=180^\circ $.

Los ángulos suplementarios son importantes en geometría y en muchas otras áreas de la matemática, a menudo es común utilizarlos para resolver problemas que involucran ángulos. Por ejemplo, si se conoce la medida de un ángulo suplementario y se necesita encontrar la medida del otro ángulo suplementario, se puede hacer mediante una simple resta de 180 grados menos la medida del ángulo dado: $\beta = 180^\circ – \theta $.

En trigonometría, el seno, coseno y tangente de los ángulos suplementarios tienen cierta relación:

Si $\alpha$ y $\beta$ son dos ángulos suplementarios, entonces se tiene que:
$$\begin{align}
\text{sen}$\alpha$&=\text{sen}$\beta$\\
\cos$\alpha$&=-\cos$\beta$\\
\tan$\alpha$&=-\tan$\beta$
\end{align}$$
Es decir, los senos son iguales, y el coseno y la tangente cambian de signo.

Es importante tener en cuenta que estas relaciones solo se aplican a ángulos suplementarios. Si los ángulos no son suplementarios, estas relaciones no se aplican.

Dos ángulos que se diferencian en 180 grados son también llamados ángulos suplementarios. Si un ángulo es α, entonces su ángulo suplementario es $\beta$, donde $\beta = 180^\circ + \alpha$. Lo que es igual a $\beta – \alpha = 180^\circ$.

Por ejemplo: $240^\circ$ y $60^\circ$ se diferencian en $180^\circ$, ya que $240^\circ-60^\circ=180^\circ$.

El seno, coseno y tangente de dos ángulos que se diferencian en $180^\circ$ también están relacionados.

Si $\alpha$ y $\beta$ se diferencian en $180^\circ$, entonces:
$$\begin{align}
\text{sen}$\alpha$&=-\text{sen}$\beta$\\
\cos$\alpha$&=-\cos$\beta$\\
\tan$\alpha$&=\tan$\beta$
\end{align}$$
Es decir, el seno y el coseno cambian de signo, pero la tangente mantiene el signo en los dos ángulos.

Dos ángulos se llaman opuestos si suman $360^\circ$. Es decir, $\alpha$ y $\beta$ son opuestos si $\alpha+\beta=360^\circ$. Por ejemplo, $330^\circ$ y $30^\circ$ son opuestos, ya que $330^\circ+30^\circ=360^\circ$.

Los senos, cosenos y tangentes de ángulos opuestos están relacionados de una forma similar de como se vio con los ángulos suplementarios o los que se diferencian en $180^\circ$.

Si $\alpha$ y $\beta$ son ángulos opuestos se cumple siempre que:
$$\begin{align}
\text{sen}$\alpha$=-\text{sen}$\beta$\\
\cos$\alpha$=\cos$\beta$\\
\tan$\alpha$=-\tan$\beta$
\end{align}$$
Es decir, el seno y la tangente cambian de signo, mientras que el coseno mantiene el signo en los dos ángulos.

En trigonometría, no existe un concepto de ángulo negativo en sí mismo. Los ángulos se miden a partir de una posición de referencia y se pueden medir en sentido contrario a las agujas del reloj $sentido negativo$ o en sentido de las agujas del reloj $sentido positivo$. Se dice que un ángulo es negativo si va en dirección contraria a las agujas del reloj, y se simboliza con un menos delante.

Cuando se trabaja con ecuaciones y problemas trigonométricos, a veces es conveniente usar ángulos negativos para simplificar las expresiones matemáticas. Por ejemplo, en la función seno, el valor de la función para un ángulo negativo es igual al valor de la función para el ángulo positivo correspondiente. Es decir, $\sin$-\alpha$=-\sin$\alpha$$.

Si $\alpha$ es un ángulo, entonces se tienen las siguientes igualdades:
$$\begin{align}
\text{sen}$-\alpha$&=-\text{sen}$\alpha$\\
\cos$-\alpha$&=\cos$\alpha$\\
\tan$-\alpha$&=-\tan$\alpha$
\end{align}$$
En resumen, el seno y la tangente de $\alpha$ y $-\alpha$ son el mismo pero con diferente signo, y el coseno es exactamente el mismo.

Si se hace un ángulo de $42^\circ$, pero en vez de ir hacia arriba se va hacia abajo, se dice que el ángulo es de $-42^\circ$. La siguiente ilustración muestra el ángulo negativo $-42^\circ$.

En trigonometría, se puede medir un ángulo mayor que $360^\circ$. Estos ángulos se conocen como ángulos mayores de una vuelta o ángulos excedentes. Se miden a partir de una posición de referencia y se miden en sentido de las agujas del reloj.

Para calcular el seno, el coseno y la tangente de ángulos mayores de $360^\circ$, se siguen los siguientes pasos:

1. Se hace la división entera del ángulo entre $360$. Por ejemplo, si el ángulo es $780^\circ$, se hace:$$780 \div 360 = \frac{780}{360} = 60$$
2. Se toma el valor del residuo. En el ejemplo anterior es $60^\circ$.
3. Luego, el seno, el coseno y la tangente, del ángulo inicial, son el del residuo que se ha obtenido.

Así, del ejemplo anterior, se tiene que el seno, el coseno y la tangente del angulo de $780^\circ$ es igual a:

• $\text{sen}$780^\circ$ = \text{sen}$60^\circ$ = \frac{\sqrt 3}{2}$
• $\cos$780^\circ$ = \cos$60^\circ$ = \frac{1}{2}$
• $\tan$780^\circ$ = \tan$60^\circ$ = \sqrt 3$

Dos ángulos se diferencian en $90^\circ$ si el resultado de restarlos es $90^\circ$. Por ejemplo $160^\circ$ y $70^\circ$, ya que: $160^\circ- 70^\circ= 90^\circ$.

Las razones que satisfacen dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ si se diferencian en $90^\circ$ $es decir, si $\alpha-\beta=90^\circ$$ son:

• $\text{sen}$\alpha$ = \cos$\beta$$
• $\cos$\alpha$ = -\text{sen}$\beta$$
• $\tan$\alpha$ = -\cot$\beta$$

Dado el ejemplo anterior se tienen los ángulos $\alpha = 160^\circ$ y $\beta = 70^\circ$, entonces:

• $\text{sen}$160^\circ$ = \cos$70^\circ$$
• $\cos$160^\circ$ = -\text{sen}$70^\circ$$
• $\tan$160^\circ$ = -\cot$70^\circ$$

Dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ suman $270^\circ$ si $\alpha + \beta = 270^\circ$. Por ejemplo $70^\circ$ y $200^\circ$, ya que $70^\circ + 200^\circ=270^\circ$.

En este caso, $\alpha$ y $\beta$ satisfacen las siguientes igualdades:

• $\text{sen}$\alpha$ = -\cos$\beta$$
• $\cos$\alpha$ = -\text{sen}$\beta$$
• $\tan$\alpha$ = \cot$\beta$$

Dado el ejemplo anterior se tiene que:

• $\text{sen}$70^\circ$ = -\cos$200^\circ$$
• $\cos$70^\circ$ = -\text{sen}$200^\circ$$
• $\tan$70^\circ$ = \cot$200^\circ$$

Dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ se diferencian en $270^\circ$ si al restarlos se obtiene exactamente $270^\circ$. De modo que $\alpha – \beta = 270^\circ$. Un ejemplo serían los ángulos $320^\circ$ y $50^\circ$, ya que $320^\circ – 50^\circ = 270^\circ$.

En este caso, $\alpha$ y $\beta$ se diferencian en $270^\circ$ y se satisfacen las siguientes igualdades:

• $\text{sen}$\alpha$ = -\cos$\beta$$
• $\cos$\alpha$ = \text{sen}$\beta$$
• $\tan$\alpha$ = -\cot$\beta$$

Dado el ejemplo anterior se tiene que:

• $\text{sen}$320^\circ$ = -\cos$50^\circ$$
• $\cos$320^\circ$ = \text{sen}$50^\circ$$
• $\tan$320^\circ$ = -\cot$50^\circ$$