Se llama equilátera a esa hipérbola en la cual $a=b$. De ahí la excentricidad tiene que valer $e=\sqrt{2}$.
Multiplicando por $a^2$ en la expresión $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, se llega a la ecuación $x^2-y^2= a^2$. En este caso las asíntotas serían $y=x$, $y =-x$.
Se puede observar que las asíntotas son ortonormales. Sería entonces interesante que pudiesen coincidir con nuestros ejes ortonormales. Para llegar a ello sólo hace falta un giro de $45^\circ$. La ecuación resultante $x \cdot y=\frac{a^2}{2}$ se puede expresar de la forma $\displaystyle y=\frac{k}{x}$ dando lugar a la figura siguiente:
Otra expresión, en la que la hipérbola ya no estará en el primer cuadrante es $\displaystyle y=-\frac{k}{x}$, dando lugar a:
Ejemplo
Dada la hipérbola $y=-\frac{8}{x}$, hallar su excentricidad y su distancia focal.
La excentricidad es, por definición de una hipérbola equilátera $e=\sqrt{2}$.
Identificar $\displaystyle k=8=\frac{a^2}{2}$, entonces $a= \sqrt{16}=4$.
Como $a=b$, con $c^2=a^2+b^2$ se encuentra $c= \sqrt{2 \cdot a^2}=a\sqrt{2}=4\sqrt{2}$.
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