Ecuación de la circunferencia II: ecuación general

Una circunferencia con centro $C = $a, b$$ y radio $r$ se puede escribir mediante la ecuación reducida como:

$$$x-a$^2+$y-b$^2=r^2$$

Desarrollando los cuadrados de dicha ecuación obtenemos:

$$x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0$$

y haciendo el cambio $A= -2a, B=-2b, C=a^2+b^2-r^2$ en:

$$x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0$$

se obtiene la nueva ecuación:

$$x^2+y^2+Ax+By+C=0$$

Así hemos encontrado otra expresión analítica que nos define los puntos de una circunferencia. A esta ecuación se le llama ecuación general de la circunferencia.

Veamos como determinar el centro y el radio de una circunferencia a partir de su ecuación general.

Dado que hemos hecho el cambio:

$$A=-2a, B=-2b, C=a^2+b^2-r^2$$

aislamos de estas expresiones los términos $a$, $b$ y $r$. Tenemos:

$$displaystyle a=-frac{A}{2}$$ $$b=-frac{B}{2}$$ $$r^2=a^2+b^2-C=Big$-frac{A}{2}Big$^2+Big$-frac{B}{2}Big$^2-C=frac{A^2+B^2-4C}{4}$$

Y como sabemos que en la expresión reducida $$a, b$$ es el centro y $r$ el radio, dada una ecuación general:

$$x^2+y^2+Ax+Bx+C=0$$

el centro de tal circunferencia es el punto $displaystyle Big$-frac{A}{2},-frac{B}{2}Big$$ y el radio es $displaystyle r=sqrt{frac{A^2+B^2-4C}{4}}$.

Ejemplo

Veamos ahora el proceso inverso,

Ejemplo

Veamos que pasa cuando la circunferencia está centrada en el origen y queremos escribir su ecuación general:

Dado que el $$0, 0$$ es el centro tenemos: $a=0$ y $b=0$ por lo que,

$$left.{begin{matrix} {0=a=-frac{A}{2}} \ {0=b=-frac{B}{2}} end{matrix}}right }Longrightarrow{left { {begin{matrix} {A=0}\{B=0}end{matrix}}right . }$$

de manera que en la ecuación general solo existirán términos cuadráticos y términos independientes, es decir:

$$x^2+y^2+C=0$$

que pasando el término independiente al otro lado se convierte en la ecuación reducida de la circunferencia:

$$x^2+y^2=-C$$

donde sabemos que $$C=a^2+b^2-r^2=-r^2$$

puesto que suponíamos centro $$0, 0$$.

En definitiva: Para una circunferencia centrada en el cero las dos ecuaciones son la misma prácticamente.

Veamos un ejemplo:

Ejemplo

Resumiendo tenemos:

Dada la circunferencia como: $$x-a$^2+$y-b$^2=r^2$

Entonces el centro es el punto del plano $$a,b$$ y el radio es $r$.

Ejemplo

Dada la circunferencia como: $x^2+y^2+Ax+By+C=0$

Entonces el centro es el punto del plano $displaystyle Big$-frac{A}{2},-frac{B}{2}Big$$ y el radio es $displaystyle r=sqrt{Big$frac{A}{2}Big$^2+Big$frac{B}{2}Big$^2-C}$

Ejemplo