Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. A la distancia se le denomina radio.
Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia.
Veamos como:
Una circunferencia de centro $C = $ a, b$$ y radio $r$, está formada por todos los puntos $P = $x, y$$ cuya distancia al centro es $ r$.
Expresando esto en forma de ecuación matemática tenemos:
$$\displaystyle d$C,P$=d$$a,b$,$x,y$$= \sqrt{$x-a$^2+$y-b$^2} =r$$
Elevando al cuadrado esta ecuación obtenemos la ecuación reducida de la circunferencia:
$$ \displaystyle d$C,P$^2=\Big$ \sqrt{$x-a$^2+$y-b$^2} \Big$^2=$x-a$^2+$y-b$^2=r^2$$
Por lo que cualquier expresión del tipo
$$$x-a$^2+$y-b$^2=r^2$$
es una circunferencia de radio $r$ y centro el punto $$a, b$$.
Ejemplo
$$x-1$^2+$y-2$^2=3^2$ es una circunferencia de radio $3$ y centrada en el punto $$1, 2$$.
Cuando consideramos una circunferencia centrada en el origen, estamos cogiendo $C = $0, 0$$ y por lo tanto la ecuación es $x^2+y^2=r^2$.
Ejemplo
$x^2+y^2=4^2$ está centrada en el origen y tiene radio $4$.
La circunferencia con centro en el origen y radio 1 se llama circunferencia unidad.
Ejemplo
Si por ejemplo queremos escribir la ecuación de una circunferencia centrada en el punto $$-8, 0$$ y con diámetro $36$, el procedimiento es:
Calculamos el radio:
$$\displaystyle r=\frac{\mbox{diameter}}{2}=\frac{36}{2}=18$$
Sustituimos los parámetros en la ecuación de la circunferencia, con $r=18$ y $C = $-8, 0$$:
$$\displaystyle $x-$-8$^2$+$y-0$^2=18^2 \Rightarrow $x+8$^2+y^2=18^2$$
Y ya tenemos la ecuación.
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