Series

3.2 Series

3.2.1 Serie infinita

Consideremos la sucesión $\bigg\{ \displaystyle\frac{1}{2^{n-1}} \bigg\}$, esto es: $$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, …, \frac{1}{2^{n-1}}$$ Y consideremos las sumas parciales $S_{n}$ de $n$ términos de la sucesión:

$$S_{1} = 1$$ $$S_{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$ $$S_{3} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$$ $$S_{4} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{15}{8}$$ $$\begin{align} S_{5} &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{31}{16} \\ S_{n} &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + … + \frac{1}{2^{n-1}} \end{align}$$ Para poder determinar el valor de la suma n-ésima, veamos el patrón que se tiene a lo largo de las sumas parciales obtenidas. Primero, tomaremos los denominadores iniciando por el penúltimo que calculamos $16$, notamos que este denominador siempre coincide con el denominador del último término que se suma, de modo que para la suma n-ésima el denominador será: $\displaystyle\frac{1}{2^{n-1}}$, para el caso del numerador vemos que los numeradores son: $31, 15, 7, 3, 1$, correspondiendo a $31$ con $15$; $15$ con $8$, $7$ con $4$, $3$ con $2$. La relación entre ellos es que el valor del numerador es igual al doble del denominador menos uno, por lo que el numerador queda expresado como: $$2 \times 2^{n-1} $ – 1 = 2^{n} – 1$

Luego, la suma n-ésima quedaría de la siguiente manera: $$S_{n} = \frac{2^{n} – 1}{2^{n-1}} = 2 – \frac{1}{2^{n-1}}$$ Entonces las sumas parciales constituyen la siguiente sucesión: $$1, \frac{3}{2}, \frac{7}{4}, \frac{15}{8}, \frac{31}{16}, …, 2 – \frac{1}{2^{n-1}}$$ Observamos que el término n-ésimo de esta sucesión es: $2 – \displaystyle\frac{1}{2^{n-1}}$

Para saber si esta sucesión de sumas parciales $\bigg\{ S_{n} \bigg\}$ converge o diverge calculamos su límite: $$\lim_{n \to \infty } S_{n} = \lim_{n \to \infty } 2 – \frac{1}{2^{n-1}} = 2 – \frac{1}{2^{\infty-1}} = 2$$ Encontramos que la sucesión de sumas parciales converge a $2$, esto implica que la suma infinita vale $2$, esto es: $$1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + \frac{15}{8} + \frac{31}{16} + … + \left$ 2 – \frac{1}{2^{n-1}} \right$ + … = 2$$ Notemos que la sucesión original $$\bigg\{ \frac{1}{2^{n-1}} \bigg\} = 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, …, \frac{1}{2^{n-1}}$$ Converge si el límite existe, entonces: $$\lim_{n \to \infty } a_{n} = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{1}{2^{\infty}} = 0$$ Por lo tanto, la sucesión original $\bigg\{ \displaystyle\frac{1}{2^{n-1}} \bigg\}$ converge a $0$.

Definición. Dada una sucesión de números $\bigg\{ a_{n} \bigg\}$, una expresión de la forma $$a_{1} + a_{2} + a_{3} + … + a_{n} + …$$ se denomina serie infinita o simplemente serie.

La sucesión $\bigg\{ S_{n} \bigg\}$ definida como: $$S_{1} = a_{1}$$ $$S_{2} = a_{1} + a_{2}$$ $$\begin{align} S_{3} &= a_{1} + a_{2} + a_{3} \\ S_{n} &= a_{1} + a_{2} + a_{3} + … + a_{n} \end{align}$$ Se trata de la sucesión de sumas parciales de la serie, donde $S_{n}$ denota la n-ésima suma parcial. Si la sucesión de sumas parciales converge a un límite $L$, decimos que la serie converge y que su suma es $L$, y en este caso escribimos: $$a_{1} + a_{2} + a_{3} + … + a_{n} + … = \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = L$$ Si la sucesión de sumas parciales $\bigg\{ S_{n} \bigg\}$ no tiene límite decimos que la serie diverge.

Notación: la serie $a_{1} + a_{2} + a_{3} + … + a_{n} + …$ se representa por $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ o por $\sum a_{n}$.