Descripción

Si bien los científicos e ingenieros ya pueden elegir entre varios libros sobre ecuaciones integrales, este nuevo libro abarca desarrollos recientes, incluidos algunos antecedentes preliminares de formulaciones de ecuaciones integrales que rigen la situación física de los problemas. También contiene métodos analíticos y numéricos elegantes, y un tema importante de los principios variacionales.

Este libro está destinado principalmente a estudiantes universitarios de último año y estudiantes graduados principiantes de cursos de ingeniería y ciencias. Los estudiantes de ciencias físicas y matemáticas encontrarán muchas secciones de gran relevancia. El libro contiene ocho capítulos. Los capítulos del libro están organizados pedagógicamente. Este libro está especialmente diseñado para aquellos que desean comprender las ecuaciones integrales sin tener una amplia formación matemática.

Se espera que el lector tenga algún conocimiento de cálculo integral, ecuaciones diferenciales ordinarias, ecuaciones diferenciales parciales, transformadas de Laplace, transformadas de Fourier, transformadas de Hilbert, funciones analíticas de variables complejas e integraciones de contorno. El libro trata de ecuaciones integrales lineales, es decir, ecuaciones que involucran una función desconocida que aparece bajo un signo integral.

Tales ecuaciones ocurren ampliamente en diversas áreas de las matemáticas aplicadas y la física. Ofrecen una poderosa técnica para resolver una variedad de problemas prácticos. Una razón obvia para usar la ecuación integral en lugar de las ecuaciones diferenciales es que todas las condiciones que especifican los problemas de valores iniciales o los problemas de valores límite para una ecuación diferencial a menudo se pueden condensar en una sola ecuación integral. En el caso de ecuaciones en derivadas parciales, la dimensión del problema se reduce en este proceso, de modo que, por ejemplo, un problema de valores en la frontera para una ecuación en derivadas parciales en dos variables independientes se transforma en una ecuación integral que involucra una función desconocida de una sola variable.

Esta reducción de lo que puede representar un modelo matemático complicado de una situación física en una sola ecuación es en sí misma un paso significativo, pero se pueden obtener otras ventajas al reemplazar la diferenciación con la integración. Algunas de estas ventajas surgen porque la integración es un proceso fluido, una característica que tiene implicaciones significativas cuando se buscan soluciones aproximadas. Ya sea que uno esté buscando una solución exacta para un problema dado o tenga que conformarse con una aproximación a él, la formulación de una ecuación integral a menudo puede proporcionar una forma útil de avanzar.

Por esta razón, las ecuaciones integrales han atraído la atención durante la mayor parte del último siglo y su teoría está bien desarrollada. Mientras era estudiante de posgrado en el departamento de matemáticas del Imperial College durante 1966-1969, estaba fascinado con el curso de ecuaciones integrales impartido por el profesor Rosenblatt. Su profundo conocimiento sobre el tema me impresionó y me hizo amar las ecuaciones integrales. Uno de los objetivos del curso impartido por el profesor Rosenblatt era reunir a estudiantes de matemáticas puras y matemáticas aplicadas, a menudo consideradas por los estudiantes como totalmente desconectadas.

Este libro contiene algunos desarrollos teóricos para el matemático puro, pero estas teorías se ilustran con ejemplos prácticos para que un matemático aplicado pueda entender y apreciar el libro fácilmente. Este libro está destinado a los estudiantes de último año de pregrado y de posgrado de primer año. Supongo que el lector está familiarizado con el análisis real clásico, el álgebra lineal básica y los rudimentos de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Además, es necesaria cierta familiaridad con el análisis funcional y los espacios de Hilbert, aproximadamente al nivel de un curso de primer año en la materia, aunque he descubierto que una familiaridad limitada con estos temas se considera fácilmente como un subproducto de usarlos en el establecimiento de ecuaciones integrales.

Debido al alcance del texto y al énfasis en cuestiones prácticas, espero que el libro resulte útil para aquellos que trabajan en áreas de aplicación que necesitan saber sobre ecuaciones integrales. Durante muchos años sentí que las ecuaciones integrales deberían tratarse de la manera de este libro y obtuve muchos beneficios al leer muchos libros de ecuaciones integrales disponibles en la literatura. Otros influyen en algunos casos actuando más en espíritu, haciéndome consciente del tipo de resultados que podríamos buscar, artículos de muchos autores destacados. La mayor parte del material del libro se conoce desde hace muchos años, aunque no necesariamente en la forma en que lo he presentado, pero los últimos capítulos contienen algunos resultados que creo que son nuevos.

Las computadoras digitales han cambiado mucho la filosofía de las matemáticas aplicadas a la ingeniería. Muchos problemas aplicados que no pueden resolverse explícitamente mediante métodos analíticos pueden resolverse fácilmente mediante computadoras digitales. Sin embargo, en este libro he intentado el procedimiento analítico clásico. Con demasiada frecuencia existe una brecha entre los enfoques de una matemática pura y una matemática aplicada.