Introducción a los Métodos Numéricos – Walter Mora – 2da Edición

Prefacio

1 Aritmética del Computador y Errores
1.1 Introducción
1.2 Aritmética del computador.
1.3 Cancelación
1.4 Propagación del Error

2 Interpolación Polinomial. Aspectos Prácticos
2.1 Introducción 14
2.2 Interpolación polinomial. 16
2.3 Forma de Lagrange del polinomio interpolante. 17
2.4 Forma modificada y forma baricéntrica de Lagrange. 20
2.5 Forma baricéntrica con nodos igualmente espaciados. 22
2.6 Forma de Newton para el polinomio interpolante. 24
2.7 Diferencias Divididas de Newton. 24
2.8 Forma de Newton en el caso de nodos igualmente espaciados. 28
2.9 Forma de Lagrange vs Forma de Newton. 32
2.10 Estimación del error. 32
2.11 Error en interpolación lineal. 34
2.12 Error en interpolación cuadrática 35
2.13 Error en interpolación cúbica 35
2.14 Error con interpolación con polinomios de grado n. 37
2.15 Otros casos. 37
2.16 Interpolación Iterada de Neville 38
2.16.1 Algoritmo 40
2.17 Trazadores Cúbicos (Cubic Splines). 42
2.18 Algoritmos e implementación con Basic de OpenOffice o de LibreOffice, y Calc. 48
2.18.1 Forma de Lagrange del polinomio interpolante 48
2.19 Forma modificada y forma baricéntrica de Lagrange. 54
2.20 Forma de Newton del polinomio interpolante. 56
2.21 Trazadores cúbicos 61

3 Interpolación. Aspectos Teóricos.
3.1 Forma de Lagrange para el polinomio interpolante. 68
3.2 Forma de Lagrange modificada y forma baricéntrica de Lagrange. 68
3.3 Forma de Newton para el polinomio interpolante. 70
3.4 Estimación del error. 73
3.5 Polinomios de TChebyshev y convergencia. 74

4 Ecuaciones no lineales.
4.1 Orden de convergencia 80
4.2 Método de Punto Fijo 84
4.3 Punto Fijo. Algoritmo e Implementación. 89
4.4 Punto Fijo: Aspectos Teóricos. 93
4.5 El método de Bisección 98
4.6 Algoritmo e Implementación. 101
4.7 Bisección: Criterio de Parada y Número de Iteraciones. 103
4.8 Bisección: Teorema de Convergencia. Orden de Convergencia. 105
4.9 Acerca del Criterio de Parada en métodos iterativos. 106
4.10 El Método de Newton 108
4.11 Método de Newton: Algoritmo e Implementación. 113
4.12 Método de Newton: Teorema de Convergencia. Orden de Convergencia. 119
4.13 Método de Newton: Estimación del error 126
4.14 Métodos de Orden Cúbico. Método de Euler. 130
4.15 Un método h´ibrido: NewtonBisección. 133
4.15.1 Algoritmo e Implementación en VBA Excel. 134
4.16 El Método de la Falsa Posición 136
4.16.1 Algoritmo. 137
4.16.2 Teorema de Convergencia. Orden de Convergencia. 138
4.17 Método de la Secante 139
4.17.1 Algoritmo e Implementación en VBA Excel. 141
4.18 Secante: Teorema de Convergencia. Orden de Convergencia. 145
4.19 Secante: Orden de convergencia. 149
4.20 Un Método H´ibrido: SecanteBisección 151
4.21 Híbrido: Algoritmo e Implementación. 153
4.22 Interpolación Inversa. 158
4.23 Interpolación Cuadrática Inversa. 160
4.23.1 Algoritmo e Implementación en Excel. 162

5 Integración Numérica.
5.1 Introducción 166
5.2 Fórmulas de NewtonCotes. 167
5.3 Regla del Trapecio. 169
5.4 Trapecio: Algoritmo e Implementación. 173
5.5 Regla del Simpson. 174
5.6 Simpson: Algoritmo e Implementación. 177
5.7 Método de Romberg. 180
5.7.1 Extrapolación de Richardson. 180
5.8 Método de Romberg 181
5.8.1 Algoritmo e Implementación en VBA Excel. 183
5.9 Cuadratura Gaussiana. 184
5.10 Integrales Impropias. 187

6 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 190
6.1 Método de Euler 191
6.2 Algoritmo e implementación con WXMAXIMA. 191
6.3 Métodos de Taylor de orden superior. 195
6.4 Algoritmo e implementación con WXMAXIMA. 196
6.5 Métodos de RungeKutta. 198
6.6 Algoritmo e implementación con WXMAXIMA. 199
6.7 Algunos Detalles Teóricos. 199
6.8 Estimación del error 201

Apéndice A: Programación con LibreOffice Basic (=OOoBasic)
A.1 Preliminares: Macros, funciones y subrutinas. 204
A.1.1 Editar y ejecutar una macro. 204
A.1.2 Subrutinas y funciones. 207
A.1.3 Variables. 208
A.1.4 Constantes 212
A.1.5 Operadores 213
A.1.6 Ciclos. 214
A.1.7 Condicionales. 218
A.2 Leer e imprimir en una celda. 219
A.3 Ejecutar una subrutina (o una función) desde un botón. 222
A.4 Crear, exportar, importar y cargar bibliotecas. 224
A.4.1 Crear una biblioteca. 224
A.4.2 Agregar un nuevo módulo. 226
A.4.3 Exportar una biblioteca. 227
A.4.4 Cargar una biblioteca 228
A.4.5 Importar una biblioteca. 228
A.5 Subrutinas y funciones 229
A.5.1 Pasar parámetros a una subrutina o una función. 229
A.5.2 Manejo de errores. 230
A.5.3 Usando la funciones de OOo Calc en OOo Basic. 232
A.5.4 Un evaluador de funciones matemáticas (“Math Parser”). 234
A.5.5 Vectores, matrices y rangos. 238
A.5.6 Funciones que reciben o devuelven arreglos. 240
A.5.7 Rangos. 241
A.5.8 Funciones para operaciones con matrices. 246
A.6 Bibliotecas especiales. 249
A.6.1 Biblioteca BblMatematica de funciones de uso frecuente. 249
A.6.2 Algunas funciones especiales 250
A.6.3 Funciones y subrutinas misceláneas 254
A.7 Gráficos. 256
A.8 Modelo de Objetos de OOo. 261

Apéndice B: Conocimientos Previos 262
B.1 Inducción Matemática 262
B.2 Funciones continuas. Máximos y m´inimos absolutos. 264
B.3 Teorema de Taylor 272
B.4 Notación O de Landau 275
B.4.1 Propiedades de o(g) . Cálculo de límites. 276
B.5 Sucesiones 277
B.6 Teorema del valor medio para integrales 283

Apéndice C: Bits y Bytes 284
Apéndice D: ¿Porqué 1.0000000… = 0.999999… ? 286
Apéndice E: Programación Visual Basic (VBA) para Excel 288
E.1 Introducción 288
E.2 Evaluación de funciones 289
E.2.1 Funciones definidas por el usuario 289
E.2.2 Errores comunes 290
E.2.3 Evaluando una función en varios tipos de parámetros 291
E.3 Gráficas 293
E.4 Programación de macros 295
E.4.1 Introducción 295
E.4.2 Funciones 296
E.4.3 Funciones en VBA y Funciones en Excel. 298
E.4.4 Algunas Propiedades de las Celdas 300
E.5 Elementos de programación en VBA 301
E.5.1 Flujo secuencial 301
E.5.2 Flujo condicional (If-Then-Else) 302
E.5.3 Flujo repetitivo ( For-Next, While-Wend, Do While-Loop) 305
E.5.4 Declaración de variables en un programa 310
E.5.5 Tipos de datos 312
E.5.6 Manejo de rangos 313
E.5.7 Subrutinas. Edición y ejecución de una subrutina 315
E.5.8 Ejecución de una subrutina mediante un botón 317
E.5.9 Matrices dinámicas 320
E.5.10 Inclusión de procedimientos de borrado 326
E.6 Evaluando expresiones matemáticas escritas en lenguaje matemático común 329
E.6.1 Usando clsMathParser. Sintaxis 329
E.6.2 Ejemplo: un graficador 2D 333
E.6.3 Ejemplo: un graficador de superficies 3D 337
E.6.4 Campos de Texto. 344