Descripción

Prácticamente en todas las universidades se imparten cursos de álgebra lineal y geometría y existen muchos libros que se han escrito a partir de estos cursos, por lo que probablemente habría que explicar la aparición de uno nuevo. En este caso, nuestra tarea se ve facilitada por el hecho de que estamos discutiendo la edición de bolsillo de nuestro libro de texto. Uno puede ver el tema de este curso de muchas maneras diferentes.

Para un estudiante de posgrado, el álgebra lineal es el material que se enseña a los estudiantes de primer año. Para el algebrista profesional, formado en el espíritu de Bourbaki, el álgebra lineal es la teoría de estructuras algebraicas de una forma particular, a saber, espacios lineales y aplicaciones lineales, o, en el estilo más moderno. La teoría de las categorías lineales. Desde un punto de vista más general, el álgebra lineal es el estudio cuidadoso del lenguaje matemático para expresar una de las ideas más difundidas en las ciencias naturales: la idea de linealidad.

El ejemplo más importante de esta idea podría muy posiblemente ser el principio de linealidad de pequeños incrementos: casi cualquier proceso natural es lineal en pequeñas cantidades, casi en todas partes. Este principio se encuentra en la base de todo análisis matemático y sus aplicaciones. El álgebra vectorial del espacio físico tridimensional, que históricamente se ha convertido en la piedra angular del álgebra lineal, en realidad se remonta a la misma fuente: después de Einstein, ahora sabemos que el espacio físico tridimensional también es aproximadamente lineal, solo en la pequeña vecindad de un observador. Afortunadamente, este pequeño barrio es bastante grande.

La física del siglo XX ha ampliado de forma notable e inesperada la esfera de aplicación del álgebra lineal, añadiendo al principio de linealidad de pequeños incrementos el principio de superposición de vectores de estado. En términos generales, el espacio de estado de cualquier sistema cuántico es un espacio lineal sobre el campo de los números complejos. Como resultado, casi todas las construcciones del álgebra lineal compleja se han transformado en una herramienta para formular las leyes fundamentales de la naturaleza: desde la teoría de la dualidad lineal, que explica el principio cuántico de complementariedad de Bohr, hasta la teoría de las representaciones de grupos, que subyace en la tabla de Mendeleev, la zoología de las partículas elementales, e incluso la estructura del espacio-tiempo.