Notas de Geometría Diferencial con Aplicaciones – Antonio Valdés – 1ra Edición

Estos son unos apuntes sobre Geometría Diferencial y sus Aplicaciones básicas. Incluyen las nociones más importantes acompañadas de algunos ejemplos y problemas que creemos que además de facilitar la comprensión de los conceptos resaltan aquellos aspectos más interesantes.

En matemáticas, la geometría diferencial es el estudio de la geometría usando las herramientas del análisis matemático. Los objetos de estudio de este campo son las variedades diferenciables $tal y como la topología diferencial$ tanto como las nociones de conexión y curvatura $que no se estudia en la topología diferencial$.

Las aplicaciones modernas de la geometría diferencial han dado el estado del arte que goza la física.

La geometría diferencial trata de las propiedades de las curvas y superficies que varían de un punto a otro, y son sujetas a variaciones $de punto en punto$ donde tiene sentido la utilización de las técnicas del Cálculo. Gauss, en su Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas $Investigaciones generales sobre superficies curvas$ ofreció la nueva idea que usaría Riemann: una superficie se podía ver como un espacio en sí mismo.

Puede resultar interesante hacer aquí una digresión casi filosófica sobre la naturaleza de la geometría. Para Riemann, al igual que para Gauss, la geometría debía asociarse con la mecánica; por eso, buscó demostrar que los axiomas específicos de Euclides eran empíricos y no autoevidentes y necesarios en sí mismos sin tomar en cuenta la acción de la experiencia. Su estrategia fue buscar qué era lo realmente a priori en la geometría del espacio y estudiar sus consecuencias. Las otras propiedades del espacio no eran a priori. Con ello podría concluir que serían de naturaleza empírica. Es decir, buscar lo realmente necesario y autoevidente y, luego, hacer ver que lo que quedaba fuera tenía que ser empírico.