Variable Compleja y Ecuaciones Diferenciales – R. Fuster, I. Giménez – 1ra Edición

Aunque es imposible ofrecer un curso que se adapte totalmente a los planes de estudio de cada una de las carreras técnicas, es evidente que las ecuaciones diferenciales ordinarias y la variable compleja, en mayor o menor medida, forman parte fundamental de los contenidos de las asignaturas de matemática aplicada de todas ellas. Pretendemos que este texto sirva de base, apoyo o consulta, tanto al profesor como al estudiante de carreras de ingeniería o ciencias que ya han cubierto al menos un primer curso de cálculo y álgebra lineal.

Nuestra intención ha sido la de hacer un libro ameno, completo, pero 10 más conciso posible en cuanto a los contenidos: creemos que la mejor forma de presentar un resultado -al menos en un libro de texto- no es casi nunca la más general. También nos pemos propuesto mantener un razonable equilibrio entre el rigor y la intuición, procurando desterrar el formalismo (rigor no es formalismo) que en muchas circunstancias sólo les sirve a los estudiantes para oscurecer y hacer ininteligible aquello que era claro y perfectamente compren si ble.

Por otra parte, hemos intentado dar a nuestro texto una cierta originalidad en la presentación de la materia, aunque somos conscientes de la dificultad de esta empresa en un tema tan bien conocido y sobre el que se han escrito textos de gran calidad científica y pedagógica. Probablemente, la novedad más aparente radica en una cierta violación de la tradición docente: que nosotros sepamos, tanto en las escuelas técnicas como en las facultades de ciencias o de matemáticas, el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias suele preceder al de la variable compleja.

Esta tradición está posiblemente justificada desde el punto de vista histórico pero, a nuestro parecer, no está desde una perspectiva didáctica: por una parte, la teoría de ecuaciones diferenciales presenta escollos difíciles de salvar sin el apoyo de la variable compleja (el primero de ellos puede ser el tratamiento de las ecuaciones lineales con coeficientes analíticos); por otra parte, es imposible fundamentar su estudio sin una cierta base de topología de espacios métricos o de convergencia uniforme, cual supone un grado de abstracción considerablemente superior al que se requiere para una razonable introducción de la variable compleja (básicamente, los prerrequisitos para tal introducción consisten en un buen conocimiento del cálculo infinitesimal de una y dos variables reales). Así pues, hemos alterado el orden clásico en la presentación de la materia, desarrollando en primer lugar el estudio de las funciones de variable compleja. De este modo, el texto constará de dos partes.

La primera, la presente, constituye en sí misma un curso de variable compleja. La segunda, en fase de preparación, consistirá en un curso de ecuaciones diferenciales ordinarias complementado con temas relacionados con ellas y de gran importancia en matemática aplicada, como las ecuaciones en diferencias y las transformadas de Lap1ace. Por razones de carácter didáctico, este primer volumen se ha organizado en tres bloques y dos apéndices. El primero de estos bloques comienza con un capítulo introductorio sobre las propiedades elementales de los números complejos y contiene las propiedades acerca de sucesiones de números complejos y de funciones complejas de variable compleja que pueden considerarse como la generalización lógica de las correspondientes propiedades en el contexto real.

El segundo bloque constituye el cuerpo del texto y contiene los resultados clásicos de la variable compleja. Hemos procurado ofrecer un tratamiento moderno, claro y elemental, evitando entrar en temas que podrían resultar escabrosos para un alumno que toma su primer contacto con la teoría. Así, el lector no encontrará ninguna alusión a funciones multiformes (definimos con precisión las determinaciones del logaritmo como distintas funcionés uniformes) o a la topología de los conjuntos simplemente conexos (a todos los efectos que nos incumben, el concepto de conjunto estrellado, perfectamente claro tanto intuitiva como analíticamente, es suficiente).