[PDF] Complex Numbers From A To...Z - Titu Andreescu, Dorin Andrica - 1st Edition

Complex Numbers from A to…Z – Titu Andreescu, Dorin Andrica – 1st Edition

Descripción

Resolver ecuaciones algebraicas ha sido históricamente uno de los temas favoritos de los matemáticos. Si bien las ecuaciones lineales siempre se pueden resolver en números reales, no todas las ecuaciones cuadráticas tienen esta propiedad. La ecuación más simple de este tipo es x2 + 1 = 0. Hasta el siglo XVIII, los matemáticos evitaron las ecuaciones cuadráticas que no tenían solución sobre R. Leonhard Euler rompió el hielo al introducir el “número” ??1 en su famoso libro Elementos de álgebra como”. .. ni nada, ni mayor que nada, ni menor que nada…” y observó “… no obstante esto, estos números se presentan a la mente, existen en nuestra imaginación y todavía tenemos una idea suficiente de ellos, … Nada nos impide hacer uso de estos números imaginarios y emplearlos en el cálculo”.

Euler denotó el número ??1 por i y lo llamó la unidad imaginaria. Este se convirtió en uno de los símbolos más útiles en matemáticas. Usando este símbolo, uno define los números complejos como z = a + bi, donde a y b son números reales. El estudio de los números complejos continúa y se ha potenciado en los últimos dos siglos y medio, de hecho, es imposible imaginar las matemáticas modernas sin números complejos. Todos los dominios matemáticos hacen uso de ellos de alguna manera. Esto también es cierto para otras disciplinas: por ejemplo, mecánica, física teórica, hidrodinámica y química. Nuestro principal objetivo es introducir al lector en este fascinante tema. El libro transcurre sin problemas entre conceptos clave y resultados elementales relacionados con números complejos.

El lector tiene la oportunidad de aprender cómo se pueden emplear los números complejos para resolver ecuaciones algebraicas y comprender la interpretación geométrica de los números complejos y las operaciones que los involucran. La parte teórica del libro se complementa con ricos ejercicios y problemas de varios niveles de dificultad.

En los capítulos 3 y 4 cubrimos aplicaciones importantes en geometría euclidiana. Muchos problemas de geometría se pueden resolver de manera eficiente y elegante utilizando números complejos. La riqueza de ejemplos que proporcionamos, la presentación de muchos temas de manera personal, la presencia de numerosos problemas originales y la atención al detalle en las soluciones a los ejercicios y problemas seleccionados son solo algunas de las características clave de este libro.

Entre las técnicas presentadas, por ejemplo, están las del producto real y complejo de números complejos. En el lenguaje de los números complejos, estos son los análogos de los productos escalares y cruzados, respectivamente. Emplear estos dos productos resulta ser eficiente para resolver numerosos problemas que involucran números complejos. Después de cubrir esta parte, el lector apreciará el uso de estas técnicas. Una característica especial del libro es el Capítulo 5, una excelente selección de Olimpiadas genuinas y otros problemas matemáticos importantes resueltos usando los métodos ya presentados.

Este trabajo no cubre todos los aspectos relacionados con los números complejos. No es un libro de análisis complejo, sino más bien un trampolín en su estudio, por lo que no hemos utilizado la notación estándar eit para z = coste + i sen t, ni los desarrollos habituales en series de potencias. El libro refleja la experiencia única de los autores. Destila una vasta literatura matemática, la mayor parte de la cual es desconocida para el público occidental, capturando la esencia de una abundante cultura de resolución de problemas.

Ver más
  • Preface
    Notation
    1 Complex Numbers in Algebraic Form
    2 Complex Numbers in Trigonometric Form
    3 Complex Numbers and Geometry
    4 More on Complex Numbers and Geometry
    5 Olympiad-Caliber Problems
    6 Answers, Hints and Solutions to Proposed Problems
    Glossary
    References
    Index of Authors
    Subject Index |
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