Calculo Diferencial e Integral con Aplicaciones – Elsie Hernández – 1ra Edición

Prefacio vi

1 Limites y continuidad de funciones 1
1.1 Idea intuitiva de límite 1
1.1.1 Generalización del concepto de límite 4
1.1.2 Formalización de la idea intuitiva de límite 6
1.1.3 Definición de límite 7
1.1.4 Límites laterales 11
1.1.5 Definición de límites laterales o unilaterales 12
1.1.6 Teoremas fundamentales sobre límites 15
1.1.7 Otros aspectos sobre límites 23
1.1.8 Límites que involucran funciones trigonométricas 28
1.1.9 Límites infinitos y límites al infinito 35
1.1.10 Teoremas sobre límites infinitos 44
1.1.11 Límites que involucran la función exponencial y la función logarítmica 60
1.2 Continuidad de funciones 65
1.2.1 Introducción 65
1.2.2 Definición de continuidad 67
1.2.3 Discontinuidades evitables 69
1.2.4 Continuidad en un intervalo [a,b] 71
1.2.5 Definición de continuidad utilizando e y d 73
1.2.6 Teoremas sobre continuidad de funciones 73
1.2.7 Algunas propiedades de las funciones continuas 76
1.2.8 Continuidad y funciones 80
1.2.9 Propiedades de las funciones inversas 83
1.2.10 Valores máximos y mínimos para funciones continuas 85

2 Derivada de una función 90
2.1 Introducción 90
2.2 La derivada de una función 99
2.3 Notaciones para la derivada de una función 102
2.4 Continuidad y derivabilidad 102
2.5 Teoremas sobre derivadas 106
2.6 Derivada de una función compuesta (Regla de la cadena) 112
2.7 Diferenciales. Interpretación geométrica 116
2.7.1 Incrementos 116
2.7.2 Diferenciales 119
2.8 Derivadas de orden superior 123
2.9 Derivada de la función logarítmica 127
2.10 Derivada de la función exponencial 130
2.11 Derivadas de la funciones trigonométricas 132
2.12 Derivadas de las funciones inversas 137
2.13 Las funciones trigonométricas inversas y sus derivadas 138
2.14 Funciones paramétricas 154
2.15 Funciones implícitas y su derivada 158
2.15.1 Derivada de segundo orden para una función dada en forma implícita 162
2.16 Teorema de Rolle 164
2.17 Teorema del valor medio para derivadas (Lagrange) 167
2.18 Teorema de Cauchy del valor medio (o extensión del teorema del valor medio para derivadas) 169
2.19 Regla de L’Hôpital 171
2.19.1 Introducción 171
2.19.2 Regla de L’Hôpital 172
2.19.3 Aplicación de la Regla de L’Hôpital a otras formas indeterminadas 176
2.19.4 Límites que presentan la forma “0
¥” 178
2.19.5 Otras formas indeterminadas 180

3 Aplicaciones de la Derivada 188
3.1 Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada 188
3.2 Valor máximo y valor m´inimo de una función 191
3.3 Criterio de la primera derivada para determinar los máximos y los m´iinimos de una función 194
3.4 Concavidad y puntos de inflexión 198
3.5 Criterio de la segunda derivada para establecer los valores máximos y los valores m´iinimos de una función 204
3.6 Trazo de curvas 206
3.7 As´intotas 206
3.8 Resolución de problemas de máximos y mínimos: 220

4 Razones de Cambio Relacionadas 232
4.1 Introducción 232
4.2 Problemas de Razones Relacionadas 233

5 Integral Indefinida 246
5.1 Integral Indefinida 246
5.2 Fórmulas y métodos de integración 247
5.2.1 Regla de la cadena para la antiderivación 247
5.2.2 Integral de la función exponencial de base e 249
5.2.3 Integral de la función exponencial de base “a” (a > 0, a 6= 1) 250
5.2.4 Integral que da como resultado la función logaritmo natural 251
5.2.5 Integrales de las funciones trigonométricas 253
5.2.6 Integrales que involucran potencias y productos de funciones trigonométricas 263
5.2.7 Integrales que dan como resultado funciones trigonométricas inversas 272
5.3 Técnicas de Integración: Método de sustitución: 278
5.4 Métodos de Integración: Integración por partes 283
5.5 Integración por sustitución trigonométrica 289
5.5.1 El integrando contiene una expresión de la forma
5.5.2 El integrando contiene una expresión de la forma
5.5.3 El integrando contiene una expresión de la forma
5.6 Integración de fracciones racionales 304

6 Integral Definida 313
6.1 Introdución 313
6.2 La integral definida 315
6.2.1 Propiedades fundamentales de la integral definida 321

7 Aplicaciones de la Integral Definida 328
7.1 Cálculo de áreas 330
7.2 Área de una región comprendida entre dos curvas 332
7.3 Volúmenes de sólidos de revolución 338
7.4 Longitud de una curva plana 353
7.5 Cálculo de trabajo con ayuda de la integral definida 356
Bibliografía 361
Apéndice A: Créditos 362