Descripción

Como sugiere el título, este es un libro sobre análisis complejo. A diferencia de la mayoría de los libros de texto de análisis complejo del mercado, este libro está dirigido a estudiantes universitarios. Cualquier estudiante con una formación competente en cálculo debería encontrar este texto legible. Y con un poco de complemento, este texto también podría utilizarse para un curso “cruzado”, es decir, un curso tomado por estudiantes de grado y de posgrado.

Los autores cubren el material estándar: el álgebra de los números complejos, las funciones complejas, los mapeos, las funciones analíticas, las funciones elementales, las integrales de contorno, las series y los residuos, y los mapeos conformes.

Una de las cosas realmente buenas del texto es la comparación con el análisis real al final de algunas secciones. Por ejemplo, en la sección sobre las fórmulas integrales de Cauchy y sus consecuencias, los autores señalan que la diferenciabilidad de una función compleja en algún dominio implica que todas las derivadas existen en ese dominio; por el contrario, hay funciones reales que son diferenciables para todos los reales, pero pueden no tener una tercera (o mayor) derivada en algunos puntos. Estas distinciones dan lugar a buenas discusiones (y a una buena revisión del análisis real).

Lo único que encuentro a faltar en este texto es la noción de continuación analítica. Aunque todos los teoremas clásicos están cubiertos aquí (Cauchy-Goursat, las fórmulas integrales de Cauchy, el teorema de Liouville, el principio del módulo máximo), no se menciona la continuación analítica ni la noción de unicidad de las funciones analíticas que toman ciertos valores. Es cierto que la demostración de este resultado sería inapropiada para este texto, pero el principio es tan importante que merece al menos una mención. (Incluso el Teorema de Picard recibe una mención en uno de los ejercicios).

Aunque probablemente no sea adecuado para un segundo semestre de variables complejas a nivel de posgrado, este texto es ideal para los estudiantes que están siendo expuestos al análisis complejo por primera vez. En particular, los estudiantes de ingeniería pueden encontrar muy útiles las aplicaciones al final de cada capítulo.