Complex Variables: Introduction and Applications – Mark J. Ablowitz, Athanassios S. Fokas – 2nd Edition

Descripción

El estudio de variables complejas es hermoso desde un punto de vista puramente matemático y proporciona una poderosa herramienta para resolver una amplia gama de problemas que surgen en las aplicaciones. Quizás sorprenda que para explicar los fenómenos reales, los matemáticos, científicos e ingenieros recurran a menudo al “plano complejo”. De hecho, utilizando variables complejas se pueden resolver muchos problemas que son muy difíciles o prácticamente imposibles de resolver por otros medios.

El texto proporciona un amplio tanto de los fundamentos como de las aplicaciones de este tema. Este texto se puede utilizar en un curso de pregrado introductorio de uno o dos semestres. Alternativamente, se puede utilizar en un curso de posgrado para principiantes y como referencia. De hecho, la Parte I ofrece una introducción al estudio de las variables complejas. También contiene una serie de aplicaciones, que incluyen la evaluación de integrales, métodos de solución de ciertas ecuaciones diferenciales parciales y ordinarias, y el estudio del flujo de fluidos ideales. Además, la Parte I desarrolla una base adecuada para el material más avanzado de la Parte II.

La Parte II contiene el estudio de mapeos conformes, evaluación asintótica de integrales, los llamados problemas de Riemann-Hilbert y DBAR, y muchas de sus aplicaciones. De hecho, las aplicaciones se analizan a lo largo del libro. Nuestro punto de vista es que los estudiantes estén motivados y disfruten aprendiendo el material cuando puedan relacionarlo con las aplicaciones. Para ayudar al instructor, hemos señalado con un asterisco ciertas secciones que son más avanzadas. Estas secciones se pueden leer de forma independiente o se pueden omitir. También notamos que cada uno de los capítulos en la Parte II se puede leer de forma independiente. Se ha hecho todo lo posible para que este libro sea independiente.

Así, los estudiantes avanzados que utilicen este texto tendrán a su disposición el material básico sin depender de otras referencias. Nos damos cuenta de que muchos de los temas presentados en este libro generalmente no se tratan en textos de variables complejas. Esto incluye el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias en el plano complejo, la solución de ecuaciones diferenciales parciales lineales mediante transformadas integrales, evaluación asintótica de integrales y problemas de Riemann-Hilbert. En realidad, algunos de estos temas, cuando se estudian, solo se incluyen en cursos de posgrado avanzados. Sin embargo, creemos que estos temas surgen con tanta frecuencia en las aplicaciones que la exposición temprana es vital. Es una suerte que de hecho sea posible presentar este material de tal manera que pueda entenderse únicamente con la base presentada en los capítulos introductorios de este libro. Estamos en deuda con nuestras familias, que han soportado demasiadas horas de nuestra ausencia. Agradecemos a B. Fast y C. Smith por un excelente trabajo de procesamiento de texto del manuscrito y a B. Fast, quien ha utilizado software matemático de manera tan hábil para verificar muchas y producir figuras. Varios colegas nos ayudaron con la preparación de este libro.

B. Herbst hizo muchas sugerencias y fue fundamental en el desarrollo de la sección computacional. C. Schober, L. Luo y L. Glasser trabajaron con nosotros en muchos de los ejercicios. J. Meiss y C. Schober enseñaron a partir de las primeras versiones del manuscrito e hicieron valiosas sugerencias. David Benney nos animó a escribir este libro y le expresamos nuestro profundo agradecimiento. Nos gustaría aprovechar esta oportunidad para agradecer a aquellas agencias que, a lo largo de los años, han apoyado constantemente nuestros esfuerzos de investigación. En realidad, esta investigación nos llevó a varias de las aplicaciones presentadas en este libro. Agradecemos a la Oficina de Investigación Científica de la Fuerza Aérea, la Fundación Nacional de Ciencias y la Oficina de Investigación Naval. En particular, agradecemos a Arje Nachman, Director de Programas, Oficina de Investigación Científica de la Fuerza Aérea (AFOSR), por su continuo apoyo. Desde que apareció la primera edición, estamos satisfechos con los muchos comentarios positivos y útiles que nos han hecho colegas y estudiantes. Todos los cambios necesarios, pequeñas adiciones y modificaciones se han realizado en esta segunda edición.

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  • Preface page

    Part I Fundamentals and Techniques of Complex Function Theory
    1 Complex Numbers and Elementary Functions
    1.1 Complex Numbers and Their Properties
    1.2 Elementary Functions and Stereographic Projections
    1.2.1 Elementary Functions
    1.2.2 Stereographic Projections
    1.3 Limits, Continuity, and Complex Differentiation
    1.4 Elementary Applications to Ordinary Differential Equations
    2 Analytic Functions and Integration
    2.1 Analytic Functions
    2.1.1 The Cauchy–Riemann Equations
    2.1.2 Ideal Fluid Flow
    2.2 Multivalued Functions
    2.3 More Complicated Multivalued Functions and Riemann Surfaces
    2.4 Complex Integration
    2.5 Cauchy’s Theorem
    2.6 Cauchy’s Integral Formula, Its ? Generalization and Consequences
    2.6.1 Cauchy’s Integral Formula and Its Derivatives
    2.6.2 Liouville, Morera, and Maximum-Modulus Theorems
    2.6.3 Generalized Cauchy Formula and ? Derivatives
    2.7 Theoretical Developments
    3Sequences, Series, and Singularities of Complex Functions
    3.1 Definitions and Basic Properties of Complex Sequences, Series
    3.2 Taylor Series
    3.3 Laurent Series
    3.4 Theoretical Results for Sequences and Series
    3.5 Singularities of Complex Functions
    3.5.1 Analytic Continuation and Natural Barriers
    3.6 Infinite Products and Mittag–Leffler Expansions
    3.7 Differential Equations in the Complex Plane: Painlev´e Equations
    3.8 Computational Methods 196
    3.8.1 Laurent Series
    3.8.2 Differential Equations
    4 Residue Calculus and Applications of Contour Integration
    4.1 Cauchy Residue Theorem
    4.2 Evaluation of Certain Definite Integrals
    4.3 Principal Value Integrals and Integrals withBranch Points
    4.3.1 Principal Value Integrals
    4.3.2 Integrals withBranchPoints
    4.4 The Argument Principle, Rouch´e’s Theorem
    4.5 Fourier and Laplace Transforms 267
    4.6 Applications of Transforms to Differential Equations

    Part II Applications of Complex Function Theory
    5 Conformal Mappings and Applications
    5.1 Introduction
    5.2 Conformal Transformations
    5.3 Critical Points and Inverse Mappings
    5.4 Physical Applications
    5.5 Theoretical Considerations – Mapping Theorems
    5.6 The Schwarz–Christoffel Transformation
    5.7 Bilinear Transformations
    5.9 Other Considerations
    5.9.1 Rational Functions of the Second Degree
    5.9.2 The Modulus of a Quadrilateral
    6 Asymptotic Evaluation of Integrals
    6.1 Introduction
    6.1.1 Fundamental Concepts
    6.1.2 Elementary Examples
    6.2 Laplace Type Integrals
    6.2.1 Integration by Parts
    6.2.2 Watson’s Lemma
    6.2.3 Laplace’s Method
    6.3 Fourier Type Integrals
    6.3.1 Integration by Parts
    6.3.2 Analog of Watson’s Lemma
    6.3.3 The Stationary Phase Method
    6.4 The Method of Steepest Descent
    6.4.1 Laplace’s Method for Complex Contours
    6.5 Applications
    6.6 The Stokes Phenomenon 488
    6.6.1 Smoothing of Stokes Discontinuities
    6.7 Related Techniques 500
    6.7.1 WKB Method 500
    6.7.2 The Mellin Transform Method
    7 Riemann–Hilbert Problems
    7.1 Introduction
    7.2 Cauchy Type Integrals
    7.3 Scalar Riemann–Hilbert Problems
    7.3.1 Closed Contours
    7.3.2 Open Contours
    7.3.3 Singular Integral Equations
    7.4 Applications of Scalar Riemann–Hilbert Problems
    7.4.1 Riemann–Hilbert Problems on the Real Axis
    7.4.2 The Fourier Transform
    7.4.3 The Radon Transform
    7.5 Matrix Riemann–Hilbert Problems
    7.5.1 The Riemann–Hilbert Problem for Rational Matrices
    7.5.2 Inhomogeneous Riemann–Hilbert Problems and Singular Equations
    7.5.3 The Riemann–Hilbert Problem for Triangular Matrices
    7.5.4 Some Results on Zero Indices
    7.6 The DBAR Problem
    7.6.1 Generalized Analytic Functions 601 ?7.7 Applications of Matrix Riemann–Hilbert Problems and ?¯ Problems
    Appendix A Answers to Odd-Numbered Exercises
    Bibliography
    Index
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